先月末に見かけた3つの事例を，かいつまんで報告します．
- 2013年9月15日に発売された『小二教育技術 2013年 10月号 [雑誌]』のp.62では，かけ算九九でうまく立式できないというつまずきを防ぐため，「4まいの おさらに 3こずつ リンゴが のって います。リンゴは ぜんぶで 何こ ありますか。」という問題を用いた，授業の工夫を提示しています．同ページの図では，男の子が「簡単だ! 4×3＝12 答えは12個だよ。」，女の子が「そうかしら…。3×4＝12じゃないかしら。」と言っています．問題文を皿にリンゴが乗った図（絵）に表すことで，男の子は「そうか」と手を叩き，3×4＝12になることを理解します。先生のまとめのセリフには「かけ算は、（1つ分）×（いくつ分）」とあります．
- 2013年9月に刊行された『マニュアル授業から脱却する! 算数のクリエイティブ授業 7の仕掛け・30の演出』のp.45では，「1つの箱に，りんごが5個ずつ入っています。8箱では，何個になりますか。」という問題文をもとにした，授業の組み立てを提案しています．「5×8＝40（個）」「8×5＝40（個）」の式を，子どもたちの発言から拾い出し，子どもたちに比較・討論させることで，「5個の8つ分」と「かけられる数の単位と答えの単位とが同じになる」などが，かけ算の式に関する気づきになると指摘しています．
- 2013年9月27日，掲示板の報告によると，京都府総合教育センターの単元指導パッケージのうち，小学校算数2年のかけ算の指導に問題があると，一人の府民が問い合わせ，「他の筋の通った考え方で説明できる計算式を『正しくない』と否定すること」を不適切と認め，当該パッケージ*1を削除しました．この報告は，じぇじぇじぇ！朗報！ 京都府教育委員会も掛算順序固定の見解を撤回！ | メタメタの日でリンクされています．
先々月に，かけ算の順序論争は，「このように解釈できるから，その式は間違い」と「このように解釈できるから，その式は正しい」の衝突であると記しました（片耳あたり３本の両耳分）．衝突と書きましたが，それらには「式（の読み）の多様性」という共通点があります．
上の3例にもまた別の共通点が見えます．「場面（文章題）に対応するかけ算の式は一つだけなのか」という問題意識です．
問題意識は共通でも，展開は違ってきます．雑誌・書籍から見てきた前二者では，かけられる数とかける数とを交換した2つのかけ算の式を，「場面（文章題）に対応するかけ算の式の候補」として示しています．それから---これまで学習してきた内容をもとに---そのうちの一方が正解で，もう一方は「場面に合わない」と判断する，という流れになっています．結論として，その種の文章題では，正解となるかけ算の式は「一つ」です．
府民の問い合わせの件を読んでみたところ，根拠として，いわゆるトランプ配りと，言葉の式の交換法則を，記載しています．トランプ配りは『授業に役立つ算数教科書の数学的背景』（2013年はトランプ配り），言葉の式の交換法則は『数とは何か?―1、2、3から無限まで、数を考える13章 (BERET SCIENCE)』（優しい本）により，算数教育に関わる大学教員も根拠付けに採用しているのを今年，見てきました．それらに依拠するなら，正解となるかけ算の式は「二つ」です．
とはいうものの私自身は，前二者すなわちかけ算の式は1通りのみとし，逆に書いたら間違いとする指導に，賛同します．理由は主に2つあって，一つは，「一つ分の大きさ×幾つ分」が，乗法構造の理解において最も基本となっているから，もう一つは，ある場面に対して解の候補を複数挙げ，比較検討を通じて結論を得る（候補の中から一つを選ぶ）という活動に期待を寄せているからです．
「かけ算の順序」あるいは「乗法の意味の理解」に関して，これまで当ブログほかで書いてきたことを整理し，一つのまとまった文章にするには，どのような構成にすればいいか，少し考えてみました．
以下は章立て案です．今後，何度か改訂する予定です．主要な過去の記事などにも，リンクしていきます．
- はじめに
- かけ算の順序論争：概観
- かけ算の指導の状況
- かけ算の「順序」考
- 乗法構造 *
- 倍と積 * * *
- 倍のかけ算
- 積のかけ算
- 倍指向と倍の乗法
- 積指向と積の乗法
- 積と倍の相互変換
- 教育に携わる人々の見解 *
- 式に単位をつけるべきか * * *
- つけない：数の演算
- 何の何倍
- パー書き
- 単位は量：3mはm×3
- 歴史的に見ると *
- 日常生活のかけ算
- かけ算の支援ツール
- これまでの取り組み
- おわりに
（最終更新：2013-10-21 晩）
