思うことあって一昨日の朝に書き溜めてツイートし，Togetterにしました．
算数で0を倍数に入れないのはなぜかを書いた時点で，この件は一応これでいいかなと思っていたのですが，連ツイをした前の日に，1年前に発した以下の内容に対して，お気に入りやリツイートがありました．
それで，もう少し調べようかとなり，見ていくと，「0は偶数であるが，2（だけでなく任意の正整数）の倍数ではない」が日本の算数に限った話ではないことを，SMSGの出版物より，知ることができたのでした．
数学教育の現代化運動(New Math)といえばSMSG，というのは「かけ算の順序論争」に関わりながら認識していった*1のですが，HathiTrustで読めると知ったのは，今年になってからです*2．
冒頭のTogetterまとめを文中で言及した記事が，リリースされていました．
t.mの名前でコメントしました．その中の「「0は偶数でも2の倍数でもない」「0は偶数だけれど2の倍数ではない」「0は偶数かつ2の倍数」の3つの立場が見られ、その違いは、類別や整除において0を対象とするか否かによって決まる」について，以下で整理を試みます．
まず0が偶数か否かについて言うと，0を，「奇数か偶数か」という類別の対象とするときには，偶数であり，そうでないときには，偶数でも（奇数でも）ないとなります．
0を類別の対象としない具体例は，『小学校学習指導要領解説 算数編』(PDFではpp.163-164)に見ることができます．出席番号が0から始まる学級は，聞いたことがありません．
整数を2で割ると，余りは0か1になる。2で割ったときに余りが0になる整数を偶数といい，余りが1になる整数を奇数という。
このように，整数は，偶数または奇数の2種類に類別される。すべての整数の集まりは，偶数の集まりと奇数の集まりに類別されるということである。
身の回りの生活や学習の場面においても，偶数，奇数を活用できることがある。例えば，学級の児童を二つのグループに分けようとするとき，出席番号を2で割って，割り切れるかどうかという観点を決めると，すべての児童が，どちらかのグループに必ず入ることができる。
「類別」は日常使わない言葉ですが，テーブルにばらまかれたおはじきでも，窓口に列をなす人でも，左，右，左，右，…と振り分ければ，それが類別の操作となります．振り分けられた順に1から*3順に，番号を振れば，奇数はみな左，偶数はみな右です．
左右に二分するだけでなく，3分割でも，何分割でもできます．数学で思い浮かぶ概念は，剰余類です．
次に，倍数についてですが，0を（2に限らずあらゆる数の）倍数に入れないのは，小さい数から順に列挙する事例で，いくつも見てきました．
それは単純明快ですが，また別のアプローチを，見つけました．Common Core State StandardsのMathematicsです．
Find all factor pairs for a whole number in the range 1-100. Recognize that a whole number is a multiple of each of its factors. Determine whether a given whole number in the range 1-100 is a multiple of a given one-digit number. Determine whether a given whole number in the range 1-100 is prime or composite.
Grade 4 » Operations & Algebraic Thinking » Gain familiarity with factors and multiples. » 4 | Common Core State Standards Initiative
（私訳：1から100までの整数に対して，すべての因数のペアを求めよ．整数は，そのそれぞれの因数（約数）の倍数となることを理解せよ．1から100までの与えられた整数が，別に与えられた1桁の数の倍数であるかを判定せよ．1から100までの与えられた整数が，素数であるか合成数であるかを判定せよ．）
"all factor pairs"というのは，12であれば1×12，2×6，3×4（2つの数を逆にした式は省略），13については1×13（同）となります．
この場合，0について"all factor pairs"を書き出すわけにいかず，対象外となる*4のも想像ができます．
とはいえ，このアプローチは非標準だとも思います．脱線しますが，Common Core State StandardsのMathematicsで"multiple"を調べてみると，整数以外でも倍数を用いています．具体的には分数の話*5で，"Understand a fraction a/b as a multiple of 1/b."や"Understand a multiple of a/b as a multiple of 1/b"とあります．最終的には（かけ算の順序を日本式にして）＝
を目指しているのですね．
偶数と倍数の話に戻しましょう．2の倍数は偶数と（0や負の整数を対象に入れても）同等視できるとはいえ，使い方は異なる，というのが個人的な見方です．
偶数＋偶数は偶数，奇数＋奇数も偶数ですが，「2の倍数でない数どうしの和は2の倍数である」という命題は，使いどころが思い浮かびません．「3の倍数でない数どうしの和」になると，3の倍数の場合もそうでない場合も出てきます．
使われ方が異なることから，偶数と倍数は算数教育において，別々に定義されているのではという仮説を新たに立ててみました．もしこの仮説が正しいなら，それぞれの定義で，0をその対象に入れるか否かを取り決めればいいのです．
なのですが，近デジで少し探したら，反例が見つかりました．http://kindai.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/826860/54では「二なる約数を有する数を偶数といひ」，http://kindai.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/938786/59では「2ノ倍数ヲ偶数(略)トイヒ」と，約数・倍数をもとに，偶数の定義をしていました．
ただしいずれも，具体的な数の列挙を見ると，0は偶数に入っていません．
メタメタさんの記事と，自分がこれまで読んできたものとを結びつけると，一つ疑問が浮かびます．「0は偶数でも2の倍数でもない」から「0は偶数だけれど2の倍数ではない」へ変わったのはいつか，言い換えると，類別で0を対象とするようになり整除で対象としないのは，いつからなのかです．引き続き自分なりに情報収集にあたります．
*1:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20120125/1327442079
*2:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20150228/1425073124
*3:ここで「0から」番号を振るのは，プログラミングでもなかなか見かけませんし，小学校でそうする子はいないでしょう．
*4:"in the range 1-100"と範囲を明示してあることは，対象外であることと直接関係しません．ただし，"in the range 1-100"が第2文に出現しないのは，ちょっと面白いところです．1から100までの整数のいくつかに対し，因数のペアを求めてみれば，100を超えても同様ですよね---帰納的な考え方---というのを意図しているのでしょうか．
