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2015年11月21日

[] 海外では,「かけ算の順序」「たし算の順序」についてどのような見解を出していますか?

書籍や論文を通じて知ることのできる,海外の算数教育や授業でも,a+bとb+a,a×bとb×aの対比が試みられており,答えは同じでも意味は違うことを重視するという見解になっています.

これまで取り上げてきた中から,書誌情報および主要な箇所を貼り付けておきます.

サルカール アラニ (2010)

(pp.6-7)

サハル230:先生!そこの、16かける3と3かける16は違うの?

T231:いい質問ね。みんな考えてください?(休止)質問の意味を分かった?

子ども全員232:はい。

T233:(ゴルアーラに向かって)あなたは?質問は何だったかしら?

ゴルアーラ234:先生、16かける3と3かける16は違うのかと言いました。

T235:パルミーダさんはどう?

パルミーダ236:答えは違いません。でも、もし算数の問題があるとしたら場所(順序)が違っています。

T237:ありがとう。アーリヤナちゃん、あなたは?

アーリヤナ238:場所(順序)だけが違っています。でももっと難しくなっています。

T239:難しくなっている?何が難しくなっているの?それは解決できること?

アーリヤナ240:はい。

T241:(ヘディエに向かって)あなたは?

ヘディエ242:意味も違っています。…意味が違っています。

T243:(マーラールに向かって)あなたはどう?

マーラール244:もし私たちが16を3でかけるなら、これは、私たち16人の集まりが3つあるということになります。でももし3を16でかけるなら、3が16あるということになります。だから意味が違っているけど、答えはどちらも同じです。

T245:みんなもマーラールと同じ意見?

子ども全員246:はい!

T247:じゃあ、マーラールに拍手をしてください。もっと強く!(マーラールに向かって)よくできました。…みんなよくできました。みんながよく聞いて、よく考えて、よく説明することをしました。これは私にとってとても大切なことです。みなさんが言った通り、16かける3の答えは私たちにとって同じです。でも私たちは[算数の授業として]目的があります。私たちは、ここでみんなのために問題を出してきましたね。

(関連:かけ算の順序を授業にすると〜イランとアメリカ

Chapin et al. (2009)

(p.4)

7. Mrs. S: OK, so we have two different ideas here to talk about. Eddie says that order does matter, because five times two and two times five can each be used to describe a different situation, like two bags of five apples or five bags of two apples. So the two number sentences mean different things. And Tiffany, are you saying that those two number sentences can't be used to describe two different situations?

(7. 先生:分かりました.ここまでの発表で,2つの違った考えが出てきましたね.エディさんは,順序は重要だと言いました.なぜなら2倍の5と5倍の2は,「5個入りのリンゴが2袋」と「2個入りのリンゴが5袋」のように,それぞれ違った場面を表すのに使えるからです.それで(かける数とかけられる数を入れかえた)2つの式は異なるものを表すのですね.さてティファニーさん,あなたは,そんな2つの式が違った場面を表すのに使えないって言うのですか?)

8. Tiffany: No, I mean that even though the two situations are different, the answer is the same.

(8. ティファニー:いいえ,私が言いたいのは,その2つの場面が違っていても,答えは同じになるってことです.)

9. Mrs. S: OK, so you're saying that order doesn't matter because the answer is the same?

(9. 先生:分かりました.じゃあ,答えが同じになるから,順番は重要じゃないと言いたいわけ?)

10. Tiffany: Right.

(10. ティファニー:そうです.)

11. Mrs. S: OK. We need to think about this. In Eddie's statement, order makes a difference in the situation you're describing. In Tiffany's statement, order doesn't make a difference in the answer we get. So when does order make a difference in multiplying two numbers together?

(11. 先生:分かりました.このことについてみんなで考える必要がありますね.エディさんの意見では,順序は,場面を表す際の違いをもたらします.ティファニーさんの意見だと,同じ答えになるのだから違いはありません.では,2つの数をかけ合わせて,順序が違いをもたらすのは,どんなときでしょうか?)

(転載元:シュスター先生の授業〜かけ算の順序と交換法則

Greer (1992)

  • Greer, B. (1992). Multiplication and Division as Models of Situations. In Grouws D.A. (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, National Council of Teachers of Mathematics, pp.276-295. isbn:1593115989

(p.276)

A situation in which there is a number of groups of objects having the same number in each group normally constitutes a child's earliest encounter with an application for multiplication. For example,

3 children have 4 cookies each. How many cookies do they have altogether?

Within this conceptualization, the two numbers play clearly different roles. The number of children is the multiplier that operates on the number of cookies, the multiplicand, to produce the answer. A consequence of this asymmetry is that two types of division may be distinguished.

(いくつかのグループがあって,各グループで同じ個数のモノがあるときというのが,子どもが最初にかけ算を用いる場面になる.例えば

3人の子どもが4つずつクッキーを持っている.全部合わせるとクッキーは何個か?

これをかけ算の式で表そうとするとき,2つの数は明らかに異なる役割を担っている.子どもの数は「乗数」であり,クッキーの数すなわち「被乗数」に作用して,答えとなる総数が得られる.この非対称性から言えるのは,2種類のわり算を考えることができてそれぞれ区別されるということである.)

(p.277)

Cartesian products provide a quite different context for multiplication of natural numbers. An example of such a problem is

If 4 boys and 3 girls are dancing, how many different partnerships are possible?

This class of situations corresponds to the formal definition of m × n in terms of the number of distinct ordered pairs that can be formed when the first member of each pair belongs to a set with m elements and the second to a set with n elements. This sophisticated way of defining multiplication of integers was formalized relatively recently in historical terms.

There is a symmetry between the roles of the two numbers here, and hence only one type of division problem. Given that there are 12 possible partnerships, there is no essential difference between (a) being told that there are 4 boys and asked how many girls there are and (b) being told that there are 3 girls and asked how many boys. (In fact, it would be unusual to pose division problems of this type.)

デカルト積は,自然数の乗法に対してまったく異なる文脈を与える.例題を示す.

4人の男の子と3人の女の子がダンスをするとき,男女のペアは何通りできるか?

一般化すると,順序対の総数を求めようということである.その際,各順序対の最初はm個の要素からなる集合に,また2番目はn個の要素からなる集合に属する.そうすると,総数はm×nで表される.このような整数の乗法の定義は,比較的最近になって,歴史的な観点でなされるようになった.

この場合,×の前後に書く2つの数の役割は対称性を持ち,したがって除法の問題は1種類だけとなる.男女のペアは12通りであることを前提として,「(a) 4人の男の子がいるとき,女の子は何人いるか?」と「(b) 3人の女の子がいるとき,男の子は何人いるか?」との間に本質的な違いはない.(とはいえ,こんな形のわり算の問いを出題するのは普通じゃないんだけど.))

(p.286)

For multiplication, they proposed that the primitive model is repeated addition. In an equal-groups situation, such as 3 children having 4 oranges each, the situation can be conceptualized as 4 oranges + 4 oranges + 4 oranges, and the answer can then be calculated by repeated addition. This representation generalizes naturally to a situation such as 3 children having 4.2 liters of orange juice each, which can be conceptualized as 4.2 liters + 4.2 liters + 4.2 liters. For a situation to be assimilable to this model, the crucial factor is that the multiplier must be an integer; no restriction applies to the multiplicand. Moreover, this model of multiplication carries the implication that the result is always larger than the multiplicand.

For equal groups or equal measures, this condition is met by definition. However, the multiplicand/multiplier distinction applies in other classes of situation (see Table 13.1) and, in general, multiplicand and multiplier may be integers, fractions, or decimals. For example, consider the following contrasting pair:

A rocket travels at a speed of 16 miles per second. How far does it travel in 0.85 seconds?

A rocket travels at a speed of 0.85 miles per second. How far does it travel in 16 seconds?

From a purely computational point of view both problems involve the multiplication of 16 and 0.85, but the former is more difficult to envisage as requiring multiplication for solution; many children, indeed, judge that the answer would be given by 16÷0.85 (Greer, 1988).

Results from several experiments using problems from a variety of situation classes consistently show the multiplier effect (De Corte, Verschaffel, & Van Coillie, 1998, p. 203), namely that the difficulty of recognizing multiplication as the appropriate operation for the solution of a problem depends on whether the multiplier is an integer, a decimal greater than 1, or a decimal less than 1 (Bell et al., 1984; De Corte et al., 1988; Fischbein et al., 1985; Luke, 1988; Mangan, 1986). The size of the effect, in terms of the difference in percentage of correct choices, is of the order of 10-15% for the difference between integer and decimal greater than 1 as multiplier. For the difference between integer and decimal less than 1, the size of the effect is of the order of 40%-50%. When the multiplier is less than 1, there is the added difficulty that the result is smaller than the multiplicand, which is incompatible with the repeated addition model. By contrast, the findings from these experiments show that it makes no appreciable difference what type of number appears as the multiplicand. Thus, these results for the interpretation of word problems modeled by multiplication show a clear pattern that is consistent with the theory advanced by Fischbein et al.

(乗法に対して,彼ら(訳注1)はその原始的なモデルは累加であると述べた.「同等のグループ」の場面,例えば3人の子どもが4個ずつオレンジを持っているというとき,その場面は4+4+4として概念化され,その答え(総数)は累加によって計算できる.この立式の仕方は一般化して,3人の子どもが4.2リットルずつのオレンジジュースを持っているという場面にも適用できる.式は4.2+4.2+4.2と表せる.このモデル(累加モデル)に属する場面の,重要な特徴は,乗数が整数でなければならないことである.被乗数に制約はない.さらに,このモデルでは,結果が常に被乗数よりも大きくなる(訳注2)ことを含んでいる.

「同等のグループ」あるいは「同等の量」に対して,この性質は明らかに満たされる.しかし,被乗数と乗数の区別は(表13.1にある)他の場面の分類にも見られ,そのとき一般に,被乗数と乗数は整数・分数・小数のいずれでもよい.例えば,次の対照的なペアを考えよう:

あるロケットは1秒間に16マイルのスピードで進む.0.85秒ではどれだけ進むか?

あるロケットは1秒間に0.85マイルのスピードで進む.16秒ではどれだけ進むか?

純粋に,計算の観点では,どちらの問題も,16と0.85をかければ答えとなる.しかし前者のほうが,答えとして乗法を使用すると考えるのが難しい.実際,多くの子どもたちが,16÷0.85を解答として選択している(訳注3).

様々な分類の(乗法の)場面に基づいた出題で,実験がなされ,いずれも乗数効果,すなわち,ある問題を解く際に適切な演算として乗法を認識・選択することの困難さが,乗数が「整数」「1より大きい小数」「1より小さい小数」のうちどれであるかに依ること,を示している.効果の大きさを,正答率の差で表すことにすると,乗数が「整数」と「1より大きい小数」の間では10-15%である.乗数が「整数」と「1より小さい小数」の間では,効果の大きさは40-50%になる.乗数が「1より小さい小数」のとき,積が被乗数よりも小さくなる(累加モデルには見られない)ため,難しさがアップしている.その一方で,これらの実験の知見として,被乗数が「整数」「1より大きい小数」「1より小さい小数」のいずれであるかは,感知できるほどの違いを見せていない.乗法の文章題の解釈に関する,この結果は,Fischbeinらが提案した理論に合致し,明確なパターンを示している.)

訳注1:Fischbeinらを指す.この記述の前に,一つ文献が紹介されている.

訳注2:0をかける場合は想定していない.実際,「0人の子どもが4個ずつオレンジを持っている」「0人の子どもが4.2リットルずつのオレンジジュースを持っている」というシチュエーションは変だ.

訳注3:選択肢の中から正しい式を選ばせる出題であるのが前提と思われる.

(転載元:算数教育・資料集(外国語文献)

Anghileri & Johnson (1988)

  • Anghileri, J. and Johnson, D. C. (1988). Arithmetic Operations on Whole Numbers: Multiplication and Division. In Post, T.R. (Ed.), Teaching Mathematics in Grades K-8, Longman Higher Education, Allyn and Bacon, pp.146-189. asin:0205110762

(p.157)

When considering how the symbolic expression 3×4 is interpreted by adults and children, we find the most common expressions are "3 multiplied by 4," "3 times 4," and "3 fours." Some people will use the expressions quite interchangeably on the understanding that all three are equivalent; in the domain of mathematics this may be acceptable but in real life there is an important distinction between these different interpretations. On one hand "3 times 4" and "3 fours" usually relate to three sets of four objects and are consistent with "3 lots of 4."

For children, three lots of four and four lots of three are fundamentally different. They think in concrete terms---three children each having four candies are luckier than four children each having three candies although the total number of candies is the same.

(3×4という式が何なのか,大人と子どもが説明すると,たいてい「3に4をかける」「3倍の4」「3つの4」のいずれかとなる.これら3つの解釈を同じものとして理解し,どれを使っても変わりがないように,3×4という式を使う人もいる.数学的には,その扱いで問題ないかもしれないが,日常生活においては,これらの解釈には大きな違いがある.「3倍の4」と「3つの4」は普通,4つのモノからなる集合が3つある状態に関連づけられ,「4が3つ」に対応する.

子どもたちにとって,「4が3つ」と「3が4つ」は基本的に別物である.具体物で考えると---4つずつキャンディを持っている3人の子どもは,3つずつキャンディを持っている4人の子どもよりも,運がいい.キャンディの総数は同じなのだけれども.)

(p.158)

Exercises

1. Give some real-life examples of situations in which a multiplication product a×b (for example, 5×6) is not the same as b×a (6×5).

(練習問題.1. a×bとb×a(例えば,5×6と6×5)が同じでないような,日常生活の例を挙げなさい.)

(p.177)

The balance or symmetry in the multiplication square relates to a very important property called the commutative property of multiplication, which states that for any two numbers a and b, a×b=b×a (for example, 3×4=4×3). Note that this is a property of numbers. While it is true that 3×4 is equal to 4×3, 3×4 may not be the same as 4×3 in a real-life situation.

(かけ算の表の釣り合いや対称性は,乗法の交換法則と呼ばれる重要な性質に関連している.すなわち,任意の2つの数aおよびbに対して,a×b=b×aである.例えば3×4=4×3となる.注意しないといけないのは,これは数の性質ということである.3×4が4×3と等しいのは事実だが,日常生活においてそれらが同じであるというわけではない.)

(転載元:算数教育・資料集(外国語文献), かけ算の式と言葉の順序 メモ

Vergnaud (1988)

  • Vergnaud, G. (1988). Multiplicative Structures. In Hiebert, J. and Behr, M. (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades, Vol.2, pp.141-161. isbn:0873532651

(p.144)

1. Connie wants to buy 4 plastic cars. They cost 5 dollars each. How much does she have to pay?

a) 5+5+5+5=20

b) 4・5=20

c) 5・4=20

d) 4+4+4+4+4=20

(1. コニーは4個のおもちゃの車を買いたい.1個は5ドルする.いくら払わないといけないか? 式省略)

(p.146)

The comparative facility of isomorphic over functional properties is even easier to show by considering all four procedures a, b, c, and d. Procedure b is a meaningful concatenation of procedure a. The cost of 4 cars = the cost of 1 car, plus the cost of 1 car, plus the cost of 1 car, plus the cost of 1 car. Expressed formally in terms of the isomorphic property for addition, this is f(1+1+1+1) = f(1)+f(1)+f(1)+f(1), and in terms of the isomorphic property for multiplication, f(4・1)=4・f(1). Procedure d is meaningless in terms of cars and costs. Twenty dollars cannot be 5 cars + 5 cars + 5 cars + 5 cars. Young students apparently are aware of this and never user procedure d. So there is a strong asymmetry between procedures b and c. They are not conceptually the same, although because of the commutativity of multiplication they may be mathematically equivalent.

私訳:同型性は,4つの手続きaからdまでをまとめて検討することで,より容易に示される.手続きbは,手続きaと意味をもってつながっている.4台の値段とは,1台の値段+1台の値段+1台の値段+1台の値段である.加法における同型性を,式で表すと,f(1+1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)であり,乗法における同型性によって,f(4・1)=4・f(1)となる.手続きdは,車の数と価格の観点から,無意味である.20ドルは,5台の車+5台の車+5台の車+5台の車にはなり得ない.幼い生徒たちはどうやらそのことに気づいているらしく,決して手続きdを使わない.そのため,手続きbとcの間には強い非対称性がある.それらは,乗法の交換法則によって数学的には等しいかもしれないが,概念的には同一ではない.

(転載元:トランプ配りと,うまくやっていくかけ算と構造

Ohlsson (1988)

  • Ohlsson, S. (1988). Mathematical Meaning and Application Meaning in the Semantics of Fractions and Related Concepts. In Hiebert, J. and Behr, M. (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades, pp.53-92. isbn:0873532651

(p.59)

The referential mappings created by the two concepts of growing and of combining are not identical. When addition is interpreted as growth, the arguments are not interchangeable. Incrementing ten by two is not the same process as incrementing two by ten.5 When addition is interpreted as combining, on the other hand, the arguments are interchangeable. Combining five with three is the same process as combining three with five. In the growth interpretation of addition the first argument and the result both refer to the same quantity, although at different points in time, while in the combining interpretation the two arguments and the result refer to three distinct quantities. Neither the sense not the reference is the same in the two applications (see Figure 1).

(増加と合併という,2つの概念から作られる参照の図式は異なる.たし算を増加と解釈するとき,2つの値(被加数と加数)は交換可能とならない.10に2を加えることは,2に10を加えるのと同じプロセスではない.一方,たし算を合併と解釈すると,2つの値は交換可能となる.5と3を合わせることは,3と5を合わせるのと同じプロセスである.たし算を増加と解釈した場合,最初の値と結果(和)は,時点は異なるが,同じ種類の量を表す.それに対し,合併と解釈した場合には,2つの値と結果はそれぞれ異なる量を表す.増加と合併という,たし算をもとにしたそれら2つの応用(増加と合併)に関して,それらは意味も参照の図式も異なる(図1).)

(p.92)

5 This fact is sometimes described as a lack of commutativity on the part of the addition function. But the mathematical construct of addition cannot have the property of commutativity in some contexts and lack it in others. Addition is defined to be commutative. But when the addition construct is interpreted as describing growth, (5 + 3) and (3 + 5) refer to two different growth processes. The difference between the two cases resides in the real world, not in the mathematical construct.

(和訳はhttp://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t21/1054をご覧ください.)

(転載元:□×△と△×□の違い:事例

Daroczy et al. (2015)

Mathematical solution strategy variations have been studied extensively, and can be a function of linguistic factors like wording, semantic categories and propositions. However, how individuals come up with mathematical solution strategies can be also be influenced by numerical factors like number magnitude (Thevenot and Oakhill, 2005). Such variables, which are independent of other factors, make WPs harder and/or influence numerical representations, have rarely been studied. The position/place of the unknown variable has an effect on representation (Garcia et al., 2006). Even studies about working memory also investigated the position of the unknown variable (Swanson, 2004). The strategy of counting on from larger is easier if the bigger number is represented first (Wilkins et al., 2001). Even for adults: 4 + 2 = 6, and 2 + 4 = 6, which are mathematically equivalent, may psychologically imply different meanings (Kaput, 1979). The sequence of the numbers, e.g., whether a problem starts with the smaller or with the larger number (Verschaffel and De Corte, 1990), the position of the numbers and particular words (Schumacher and Fuchs, 2012) influence children's solution of elementary addition and subtraction problems. For example, in change problems children typically look for a specific number to begin with, depending on task features, like the first mentioned number (Lean et al., 1990; Wilkins et al., 2001), the type of problem (start or change set), and the size of the numbers (Verschaffel and De Corte, 1990).

数学的な解法方略のバリエーションは,これまで大規模にわたって研究されてきており,語法や意味カテゴリー,命題と同様に,言語的な因子の機能となり得る.しかしながら,各個人がどのようにして数学的な解法方略を考え出すかというは,数の大きさといった数的な要因にも影響される.他の要因と独立であり,文章題を難しくし,数的表現に影響を及ぼすような変数というのは,ほとんど研究されていない.未知の変数の位置は,答え方に影響する.作業記憶に関する研究でも,未知の変数の位置について調査がなされてきた.大きな数から始めて数え足すという方略は,大きな数が先に出現するならより簡単である.大人にとってみれば,数学的に等価な4+2=6と2+4=6という式は,心理的には異なる意味となることもある.数の並び,例えば問題で先に来るのが小さな数か大きな数か,また数や特定の語句の配置が,初歩的な加減算の問題を子どもたちが解く際に影響を与える.例えば,変化の問題において子どもたちはよく,最初に出現する数,問題の種類,数のサイズのような,課題の性質に応じて,決まった数をはじめに探す.)

(関連:4 + 2 = 6, and 2 + 4 = 6.原文において,"be also be"の前者のbeは不要ですし,1つの段落にlikeが3回出現しているなど,英文は洗練されていないのですが,1970年代の文献を引用しながら "4 + 2 = 6, and 2 + 4 = 6" と数式を書いているのは,興味深いところです.a+bとb+aは答えは同じでも意味は異なり得るのを,Daroczyらも言及しておきたかった,と推測します.)

関連

(最終更新:2016-03-13 未明

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