足してから適用した結果が，それぞれに適用してから掛けた結果と等しくなる関数は?

いきなりですが問題です．

1変数の実数値関数で，実数a, bに対して以下を満たす関数の例をそれぞれ日本語で答えなさい．ただし「恒等関数」「定数関数」を答えにしてはいけません．

$f_1(a+b)=f_1(a)f_1(b)$

$f_2(a+b)=f_2(a)+f_2(b)$

$f_3(ab)=f_3(a)f_3(b)$

$f_4(ab)=f_4(a)+f_4(b)$

以下はTeX記法ではなくプレーンテキストで書いているところがあります（ $f_1$ はf1となります）．恒等関数はf(x)＝x，定数関数はf(x)＝cと表すことができます．
4つのうち，もっとも簡単なのはf2です．これは線型写像における加法性を表した式です．そこでf2に当てはまるものとして「比例関数」が考えられます．f2(x)＝x，だとこれは恒等関数になるので，f2(x)＝2xとしてみます．すると，f2(a＋b)＝2(a＋b)＝2a＋2b＝f2(a)＋f2(b)であり，上に書いたf2の関係式を満たします．次に移る前に，このf2の関係式は，「足し算してから関数を適用した結果は，それぞれに関数を適用してから足し算した結果と等しい」と読むことができるのに注意しましょう．
次にf3を考えることにします．「掛け算してから関数を適用した結果は，それぞれに関数を適用してから掛け算した結果と等しい」となります．f2は比例でしたが，f3はその反対ということで，「反比例関数」を割り当ててみます．具体的にはf3(x)＝ $\frac{1}{x}$ です．このとき，f3(ab)＝ $\frac{1}{ab}$ ＝ $\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}$ ＝f3(a)f3(b)です．うまくいきました．
さかのぼってf1を見ます．「足し算してから関数を適用した結果は，それぞれに関数を適用してから掛け算した結果と等しい」です．これまでの授業でときどき使用してきた，2のx乗を，使用してみましょう．「指数関数」です．f1(x)＝ $2^x$ とすると，f1(a+b)＝ $2^{a+b}$ ＝ $2^a\cdot2^b$ ＝f1(a)f1(b)です．途中で指数法則を使用しました．問題に書いた関係式が，成り立っています．
最後にf4です．「掛け算してから関数を適用した結果は，それぞれに関数を適用してから足し算した結果と等しい」ですので，足し算と掛け算が，f1の関係式と反対になっています．それでは，指数関数の反対で「対数関数」にしてみましょう．f4(x)＝ $\log_{2}x$ とします．これで，f4(ab)＝ $\log_{2}ab$ ＝ $\log_{2}a$ + $\log_{2}b$ ＝f4(a)+f4(b)です．よかったですね．
「関数の例をそれぞれ日本語で答えなさい」という出題でしたので，f1からf4まで順に「指数」「比例」「反比例」「対数」が，もっとも簡潔な答えとなります．ただしこれらは，それぞれの式を満たす関数の「例」です．少し検討すると，次のように表すことができます．

$f_1(x)=c^x$ ⇒ $f_1(a+b)=f_1(a)f_1(b)$
$f_2(x)=cx$ ⇒ $f_2(a+b)=f_2(a)+f_2(b)$
$f_3(x)=x^c$ ⇒ $f_3(ab)=f_3(a)f_3(b)$
$f_4(x)=\log_{c}x$ ⇒ $f_4(ab)=f_4(a)+f_4(b)$

いずれもcは定数です．またcは0でも1でもないとします*1．f3の式が大きく変わりましたが，c＝-1とすると，f3(x)はx分の1ですので， $x^c$ は反比例を含んでいます．先ほど「反比例」を答えにしましたが，「べき乗」も答えになるのでした．

セキュリティの授業の最初に考えてもらい，多項式時間や指数時間，そして「P≠NP予想」へとつなげていきました．
ところで，今回対象としたf1からf4までは，いずれも準同型写像です．これらを一つの式で表すにあたり，スライドには「E（m1）●E（m2）＝E（m1○m2）」と書き*2，「●と○は（同じまたは異なる）演算子」という注意書きを添えましたが，なんとも不格好です．

*1:cが1のとき，f1(x)＝1となって定数関数です．f2(x)＝xは恒等関数です．f3(x)＝xも恒等関数です．ではf4が恒等関数または定数関数になるのかというと， $\log_{1}x$ は定義されません．https://www.quora.com/What-is-log_1-1の回答にある $\log_{1}1$ ＝ $\frac{\log_{10}1}{\log_{10}1}$ ＝ $\frac00$ が興味深いです．