「正の数の乗法の逆元は正」の証明 - たけみたの脱社会学日記

『経済学のための数学入門』、練習問題2.1.3（7）（64頁）。

$\displaystyle{ (0 < a) \Rightarrow (0 < a^{-1} ) }$

「乗法の逆元」というのは、元の数にかけたら（乗法の単位元である） $\displaystyle{1}$ になる数のことでした（詳しくはこちら）。いわゆる「逆数」のことです。
$\displaystyle{2}$ の乗法の逆元は $\displaystyle{\tfrac{1}{2}}$ だし、 $\displaystyle{3}$ の乗法の逆元は $\displaystyle{\tfrac{1}{3}}$ と、元の数が正なら、逆元も正ですよね。それを証明します。
使うのは、実数の性質（公理）のうち、

非負の数同士をかけあわせても非負
$\displaystyle{\forall a,b \in \mathbf{R}, (0 \leq a, 0 \leq b) \Rightarrow (0 \leq a \cdot b)}$

です。

背理法でいきます。
正の実数 $\displaystyle{a \in \mathbf{R}}$ について、

$\displaystyle{a^{-1} \leq 0}$

と仮定しましょう。移項したら

$\displaystyle{0 \leq -a^{-1}}$

ですね。 $\displaystyle{-a^{-1}}$ は非負ということになりました。 $\displaystyle{a}$ も非負（正）ですから、かけあわせても非負です。

$\displaystyle{0 \leq -a^{-1} \cdot a}$

逆元を元の数にかけると $\displaystyle{1}$ ですから、

$\displaystyle{0 \leq -1}$

になりました。移項すると、なんと

$\displaystyle{1 \leq 0}$

となってしまいます。これは矛盾ですね（ $\displaystyle{0 \leq 1}$ の証明はこちら）。
矛盾が導かれたということは、 $\displaystyle{0<a}$ のときに $\displaystyle{a^{-1} \leq 0}$ という仮定が間違いだということですから、 $\displaystyle{0<a}$ なら $\displaystyle{0 < a^{-1} }$ が正しいことになります。以上で証明は終わりです。