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catbirdの日記

2012-08-26

光行差を表したブラッドリーの方程式を、高速移動に伴う物質の収縮より、導くことが出来ました。

星を望遠鏡で見る場合、実際に星のある方向に望遠鏡を向けても、その星は見えません。少し地球の進行方向に望遠鏡を傾ける必要があります。

観測者Aの位置をOとし、速度VでQに移動します。星の位置をSとします。SからOQの延長線上に下ろした垂線の足をJとします。望遠鏡OSとします。望遠鏡もOからQに移動します。この時、星からの光はSQを進み、上手に望遠鏡を通り抜けて、Q位置の観測者Aに届きます。OS=Cキロメートル、OQ=Vキロメートル、∠SOQ=θ、SQ=√(C^2+V^2−2CV*cosθ)、SJ=C*sinθ、QJ=C*cosθ−Vと設定します。∠SQJ=α、∠α−∠θ=∠βと設定します。

光行差は、ブラッドリーの式
sinβ=V/C*sinα
で表わされます。上記の設定で、光行差∠βを計算して見ます。
sinα= C*sinθ/√(C^2+V^2−2VC*cosθ)
sinβ= sin(α−θ)= sinα*cosθ−cosα*sinθ(公式より)
= (C*sinθ/√(C^2+V^2−2VC*cosθ))* cosθ−*1* sinθ
= (sinθ/√(C^2+V^2−2VC*cosθ))*(C* cosθ−C*cosθ+V)= V* sinθ/ √(C^2+V^2−2VC*cosθ)
故に、sinβ=V/C*sinα
と、ブラッドリーの式が導かれました。

 しかし、光の速度はCキロメートル/秒なので、SQ=Cのはずです。それが、ブラッドリーの式では、SQ=√(C^2+V^2−2CV*cosθ)と設定されています。つまり、空間は縦方向に収縮した様に設定されています。

収縮する前の星の位置をS’とし、S’から下ろした垂線の足をJ’とし、SからS’J’に下ろした垂線の足をRとします。縦方向には、S’J’がRJ’に収縮しました。S’J’=C*sinα、RJ’=√(C^2+V^2−2CV*cosθ) *sinαなので、
縦方向の収縮率=√(C^2+V^2−2CV*cosθ)/ C
です。垂直方向は、cosθ=V/Cなので、
収縮率=√(C^2−V^2)/C=√(1−V^2/C^2)
です。

従って、高速移動に伴い時空間は、
t’=t
x’=x
y’=y*√(1−V^2/C^2)
z’=z*√(1−V^2/C^2)
と変換されています。これは高速移動に伴う物質の収縮の効果を表した第三変換式と同一です。ブラッドリーの式からは、高速運動により、空間が縦方向へ√(1−V^2/C^2)収縮した様に観測されることが分かります。

*1:C*cosθ−V)/ √(C^2+V^2−2VC*cosθ

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