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2008-07-08

債券の概念:3.債券価格の計算1 /Advanced Bond Concepts: Bond Pricing


http://www.investopedia.com/university/advancedbond/advancedbond2.asp より

債券価格の計算は債券投資の基本です。一つ一つ理解していきましょう。なお、ここでの債券価格は複利による計算を説明しています。単利のものはもっと簡単です。

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It is important for prospective bond buyers to know how to determine the price of a bond because it will indicate the yield received should the bond be purchased. In this section, we will run through some bond price calculations for various types of bond instruments.


 債券の購入者は、債券の価格決定理論を知っておくことが重要である。なぜなら、それは購入した債券から得られる利回りを示すからだ。このセクションではさまざまなタイプの債券における価格計算を概観してみよう。

Bonds can be priced at a premium, discount, or at par. If the bond's price is higher than its par value, it will sell at a premium because its interest rate is higher than current prevailing rates. If the bond's price is lower than its par value, the bond will sell at a discount because its interest rate is lower than current prevailing interest rates. When you calculate the price of a bond, you are calculating the maximum price you would want to pay for the bond, given the bond's coupon rate in comparison to the average rate most investors are currently receiving in the bond market. Required yield or required rate of return is the interest rate that a security needs to offer in order to encourage investors to purchase it. Usually the required yield on a bond is equal to or greater than the current prevailing interest rates.


 債券の価格は、額面を上回る(プレミアム)か下回る(ディスカウント)か、あるいは額面と同じ(パー)かである。もし、債券価格が額面価格より高ければ、プレミアムで売ることができる。なぜならその債券の利率が現在の市中金利より高いから。もし、債券価格が額面価格より低ければ、ディスカウントで売ることになる。なぜならその債券の利率が現在の市中金利より低いからだ。債券価格を計算する際、その債券の利率と投資家が債券市場で現在受け取っている平均的な金利と比較して、投資家がその債券のために支払いたいと考える最高の価格を計算することになある。要求利回りまたは要求収益率とは、その債券を買いたいと投資家に思わせるために必要な金利水準のことである。通常、債券の要求利回りは市中金利に等しいかそれ以上である。

※日本では債券価格についてプレミアムとかディスカウントかという呼び方はあまりしない。額面価格100円(「パー」という)より高ければ、オーバーパー、安ければアンダーパーという呼び方の方がよく使われる。ここでは、プレミアム及びディスカウントという呼び方を使う。

Fundamentally, however, the price of a bond is the sum of the present values of all expected coupon payments plus the present value of the par value at maturity. Calculating bond price is simple: all we are doing is discounting the known future cash flows. Remember that to calculate present value (PV) - which is based on the assumption that each payment is re-invested at some interest rate once it is received--we have to know the interest rate that would earn us a known future value. For bond pricing, this interest rate is the required yield. (If the concepts of present and future value are new to you or you are unfamiliar with the calculations, refer to Understanding the Time Value of Money.)


 しかしながら、基本的に債券価格は支払われることが期待されている全てにクーポンの現在価値の合計プラス満期時に支払われる額面の現在価値である。債券価格の計算はシンプルである。要は、割引将来キャッシュフローを求めればよいのだ。覚えていてほしいのは現在価値(PV)※を計算するためには、その将来価値を割り引くための金利を知らなくてはならないということだ。(※現在価値の計算において、受け取ったクーポンはすべて再投資されるという想定を置いている。)債券価格の計算において、この金利とは要求利回りのことである。

Here is the formula for calculating a bond's price, which uses the basic present value (PV) formula:


以下は、基本的な現在価値(PV)を用いた債券価格の計算式である。

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C = coupon payment クーポン
n = number of payments  クーポンの支払回数
i = interest rate, or required yield 金利、すなわち要求収益率
M = value at maturity, or par value 満期時の価値、すなわち額面価格

The succession of coupon payments to be received in the future is referred to as an ordinary annuity, which is a series of fixed payments at set intervals over a fixed period of time. (Coupons on a straight bond are paid at ordinary annuity.) The first payment of an ordinary annuity occurs one interval from the time at which the debt security is acquired. The calculation assumes this time is the present.


 将来に受け取る連続したクーポンの支払いは、普通年金といわれている。すなわち、一定の期間に定められた間隔で固定された支払いがあるということである。(固定利付債のクーポンは年金として支払われる。)普通年金の最初の支払いはその債券が取得された時点から間隔が空いて発生する。その計算においては、この時点は現在と想定されている。

You may have guessed that the bond pricing formula shown above may be tedious to calculate, as it requires adding the present value of each future coupon payment. Because these payments are paid at an ordinary annuity, however, we can use the shorter PV-of-ordinary-annuity formula that is mathematically equivalent to the summation of all the PVs of future cash flows. This PV-of-ordinary-annuity formula replaces the need to add all the present values of the future coupon. The following diagram illustrates how present value is calculated for an ordinary annuity:


上に示した債券価格の計算式は、将来のクーポンの現在価値をそれぞれ加えるものなので、退屈に思えるかもしれない。しかし、これらの支払いは普通年金なので数学的に将来キャッシュフローの総和に等しい年金現価係数を使うことができる。この年金現価係数はクーポンの現在価値をすべて足し合わせる手間を取り除いてくれる。次の図表はどのように普通年金の現在価値が計算されるかを表している。

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Each full moneybag on the top right represents the fixed coupon payments (future value) received in periods one, two and three. Notice how the present value decreases for those coupon payments that are further into the future the present value of the second coupon payment is worth less than the first coupon and the third coupon is worth the lowest amount today. The further into the future a payment is to be received, the less it is worth today - is the fundamental concept for which the PV-of-ordinary-annuity formula accounts. It calculates the sum of the present values of all future cash flows, but unlike the bond-pricing formula we saw earlier, it doesn't require that we add the value of each coupon payment. (For more on calculating the time value of annuities, see Anything but Ordinary: Calculating the Present and Future Value of Annuities and Understanding the Time Value of Money. )


 右上方の一杯につまった硬貨袋はそれぞれ将来の一時点(1期、2期、3期)で受け取る固定されたクーポン(将来価値)を表している。これらのクーポンは将来ものになるほど、その現在価値は減少するということに注意してほしい。現時点では、2番目のクーポンは1番目のクーポンより価値が少なく、3番目のクーポンは最も価値が少ない。つまり、クーポンの受け取りが将来になるほど、その現在における価値は少なくなる。そして、これは年金現価係数の基本的な考え方である。年金現価係数は将来のキャッシュフローの現在価値を合計を算出しているが、先に示した債券価格の計算式とは異なり、クーポンの現在価値をわざわざ合計する必要はないのだ。

By incorporating the annuity model into the bond pricing formula, which requires us to also include the present value of the par value received at maturity, we arrive at the following formula:


 債券の価格計算式にこの年金現価係数を組み込むことによって、以下の式を得ることができる。(この式には満期時に受け取る額面価値の現在価値の計算も含める必要がある。)


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Let's go through a basic example to find the price of a plain vanilla bond.

Example 1: Calculate the price of a bond with a par value of $1,000 to be paid in ten years, a coupon rate of 10%, and a required yield of 12%. In our example we'll assume that coupon payments are made semi-annually to bond holders and that the next coupon payment is expected in six months. Here are the steps we have to take to calculate the price:


さて、ここで単純な固定利付債の価格を求める例を出す。

例1:額面$1000、残存期間が10年、利率が10%、要求利回り12%の債券価格を計算せよ。ただし、クーポンの支払は年2回で、次の利払い日は6か月後である。

以下は、価格算出に必要な計算のステップである。

1. Determine the Number of Coupon Payments: Because two coupon payments will be made each year for ten years, we will have a total of 20 coupon payments.

2. Determine the Value of Each Coupon Payment: Because the coupon payments are semi-annual, divide the coupon rate in half. The coupon rate is the percentage off the bond's par value. As a result, each semi-annual coupon payment will be $50 ($1,000 X 0.05).

3. Determine the Semi-Annual Yield: Like the coupon rate, the required yield of 12% must be divided by two because the number of periods used in the calculation has doubled. If we left the required yield at 12%, our bond price would be very low and inaccurate. Therefore, the required semi-annual yield is 6% (0.12/2).

4. Plug the Amounts Into the Formula:


1.クーポン支払回数の決定:10年間、毎年2回の利払いがあるので、その総数は20回である。

2.各クーポンの価値の決定;利払いは半年に一度なので、利率を半分に分割する。利率は額面に対する割合である。結果として、半年に一度の利払額は$50となる。($1,000×0.05)

3.半年の利回りの決定:計算に使われる期間は2倍になっているので、利率と同じように要求利回りを2で割る必要がある。仮に要求利回りを12%で計算すると、その債券価格はとても低くなり、正確ではない。よって、半年の要求利回りは6%である(0.12/2)。

4.下の計算式に当てはめてみよ。

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From the above calculation, we have determined that the bond is selling at a discount; the bond price is less than its par value because the required yield of the bond is greater than the coupon rate. The bond must sell at a discount to attract investors, who could find higher interest elsewhere in the prevailing rates. In other words, because investors can make a larger return in the market, they need an extra incentive to invest in the bonds.


 上記の計算からこの債券はディスカウントで売ることになると分かった。この債券の価値は額面価格より低い。なぜなら、要求利回りが利率より高いからだ。この利率より高い金利で運用できる投資家を引き付けるには、価格を安くして売らなくてはならない。言いかえれば、投資家は、市場でより高いリターンを得ることができるので、この債券に投資するためには追加のインセンティブが必要ということだ。


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