Hatena::ブログ(Diary)

Don’t Think Twice, It’s All Right

2011-10-24

フレネル積分(その1)

フレネル積分(Fresnel Integral)について。


{¥int}_{0}^{¥infty}{¥sin}x^{2}dx={¥int}_{0}^{¥infty}{¥cos}x^{2}dx=¥frac{¥sqrt{¥pi}}{2¥sqrt{2}}

を証明する。


第1段階

被積分関数として、

¥begin{eqnarray}f(x)&=&e^{jx^{2}}¥¥&=&¥cos{x^{2}}+j¥sin{x^{2}}¥end{eqnarray} (ただしj^{2}=-1

オイラーの公式より)

を、複素数へ定義を拡張した関数

f(z)=e^{jz^{2}}

を考える。(z=x+jy


f:id:tswat:20110420094603j:image:w250:right

右図にあるような、複素平面上の周回積分を考える。扇形の積分路で、原点からスタートして、左回りにまた原点まで戻ってくる。

周回路Cは3つの行程に分けられ、

C=C_{0}+C_{R}+C_{1}

C_{0}¥mbox{¥,:¥,}z=x¥hspace{5}(x¥mbox{¥,:¥,}0{¥rightarrow}R)

C_{¥scriptsize R}¥mbox{¥,:¥,}z=Re^{j¥theta}¥hspace{5}(¥theta¥mbox{¥,:¥,}0{¥rightarrow}¥frac{¥pi}{4})

C_{1}¥mbox{¥,:¥,}z=re^{j¥frac{¥pi}{4}}¥hspace{5}(r¥mbox{¥,:¥,}R{¥rightarrow}0)

である。


以下に、それぞれの行程での積分を考えていく。

その2へつづく)

スパム対策のためのダミーです。もし見えても何も入力しないでください
ゲスト


画像認証

Connection: close