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Don’t Think Twice, It’s All Right

2011-10-24

フレネル積分(その2)

その1からのつづき。


第2段階

f:id:tswat:20110420094604j:image:right:w250

経路C_{0}について、

z=x (dz=dx)、x¥mbox{¥,:¥,}0{¥rightarrow}Rなので、

¥begin{eqnarray}¥vspace{50}{¥int}_{C_{0}}f(z)dz&=&{¥int}_{C_{0}}e^{jz^{2}}dz¥¥¥vspace{50}&=&{¥int}_{0}^{R}e^{jx^{2}}dx¥end{eqnarray}

と書ける。このとき

¥lim_{R ¥to ¥infty}¥hspace{3}{¥int}_{0}^{R}e^{jx^{2}}dx={¥int}_{0}^{¥infty}e^{jx^{2}}dx

となる。



第3段階

f:id:tswat:20110420094605j:image:right:w250

経路C_{R}について、

z=Re^{j¥theta} (dz=jRe^{j¥theta}d¥theta)、0¥leq¥theta¥leq¥frac{¥pi}{4}だから、

¥begin{eqnarray}¥vspace{50}¥left|{¥int}_{C_{R}}f(z)dz¥right|&=&¥left|{¥int}_{C_{R}}e^{jz~{2}}dz¥right|¥¥¥vspace{50}&=&¥left|{¥int}_{0}^{¥frac{¥pi}{4}}e^{j(Re^{j¥theta})^{2}}¥hspace{3}jRe^{j¥theta}d¥theta¥right|¥¥¥vspace{50}&¥leq&{¥int}_{0}^{¥frac{¥pi}{4}}¥left|e^{jR^{2}({¥cos}2¥theta+j{¥sin}2¥theta)}¥hspace{3}jRe^{j¥theta}¥right|d¥theta¥¥¥vspace{50}&=&jR{¥int}_{0}^{¥frac{¥pi}{4}}¥hspace{3}e^{-R^{2}{¥sin}2¥theta}d¥theta¥end{eqnarray}

(2段目から3段目は、オイラーの公式と三角不等式(説明は省略)を利用。

また、3段目から4段目は、

¥left|e^{j¥theta}¥right|=¥left|{¥cos}¥theta+j{¥sin}¥theta¥right|=1¥left|e^{jR^{2}{¥cos}2¥theta}¥right|=1

を利用した。)


f:id:tswat:20110422135726j:image:right:w250

ここで、0¥leq2¥theta¥leq¥frac{¥pi}{2}のとき、{¥sin}2¥theta¥geq¥frac{4¥theta}{¥pi}

(右図より明らか)


また、指数関数は負にならないので、

¥begin{eqnarray}¥vspace{40}R{¥int}_{0}^{¥frac{¥pi}{4}}e^{-R^{2}{¥sin}2¥theta}d¥theta&¥leq&R{¥int}_{0}^{¥frac{¥pi}{4}}e^{-¥frac{4R^{2}¥theta}{¥pi}}d¥theta¥¥¥vspace{40}&=&-¥frac{¥pi}{4R}¥left(e^{-R^{2}}-1¥right)¥¥&¥rightarrow&0¥hspace{10}¥left(R¥rightarrow¥infty¥right)¥end{eqnarray}


よって、

¥lim_{R ¥to ¥infty} ¥left|{¥int}_{C_{R}}f(z)dz¥right|=0

より

¥lim_{R¥to¥infty}{¥int}_{C_{R}}f(z)dz=0


その3へつづく

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