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Don’t Think Twice, It’s All Right

2011-10-24

フレネル積分(その3)

その2からのつづき。


第4段階

f:id:tswat:20110420094606j:image:right:w250

経路C_{1}について、

図より

z=re^{j¥frac{¥pi}{4}}  (dz=e^{j¥frac{¥pi}{4}}dr)、r¥mbox{¥,:¥,}R{¥rightarrow}0だから、

¥begin{eqnarray}¥vspace{50}{¥int}_{C_{1}}f(z)dz&=&{¥int}_{C_{1}}e^{jz^{2}}dz¥¥¥vspace{50}&=&{¥int}_{R}^{0}¥,¥,e^{j¥left(re^{j¥frac{¥pi}{4}}¥right)^{2}}¥,¥,e^{j¥frac{¥pi}{4}}dr¥¥¥vspace{50}&=&{¥int}_{R}^{0}¥,¥,e^{jr^{2}e^{j¥frac{¥pi}{2}}}¥,¥,e^{j¥frac{¥pi}{4}}dr¥¥¥vspace{30}&=&{}-e^{j¥frac{¥pi}{4}}{¥int}_{0}^{R}¥,¥,e^{-r^{2}}dr¥end{eqnarray}

e^{j¥frac{¥pi}{2}}=¥cos{¥frac{¥pi}{2}}+j¥sin{¥frac{¥pi}{2}}=¥,j


よって、

¥begin{eqnarray}¥vspace{40}¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,{¥int}_{C_{1}}¥,f(z)dz&=&{}-e^{j¥frac{¥pi}{4}}¥,¥,¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,¥,{¥int}_{0}^{R}¥,¥,e^{-r^{2}}dr¥¥¥vspace{40}&=&{}-¥left(¥cos{¥frac{¥pi}{4}}+j¥sin{¥frac{¥pi}{4}}¥right)¥,¥,¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,¥,{¥int}_{0}^{R}¥,e^{-r^{2}}dr¥¥¥vspace{40}&=&-¥left(¥frac{1}{¥sqrt{2}}+j¥frac{1}{¥sqrt{2}}¥right)¥,{¥int}_{0}^{¥infty}¥,e^{-r^{2}}dr¥end{eqnarray}


ここで、ガウスの積分公式

{¥int}_{0}^{¥infty}¥,e^{-r^{2}}dr=¥frac{¥sqrt{¥pi}}{2}

を使うと、


¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,{¥int}_{C_{1}}f(z)dz={}-¥left(¥frac{1}{¥sqrt{2}}+j¥frac{1}{¥sqrt{2}}¥right)¥frac{¥sqrt{¥pi}}{2}

となる。


その4へつづく。

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