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Don’t Think Twice, It’s All Right

2011-10-24

フレネル積分(その4)

その3からのつづき。


第5段階

f:id:tswat:20110420094603j:image:right:w200

積分C

C=C_{0}+C_{R}+C_{1}

であるから、

{¥int}_{C}f(z)dz={¥int}_{C_{0}}f(z)dz+{¥int}_{C_{R}}f(z)dz+{¥int}_{C_{1}}f(z)dz

と書くことができるので、

¥begin{eqnarray}¥vspace{30} ¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,{¥int}_{C}¥,f(z)dz¥,¥,&=&¥,¥,¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,{¥int}_{C_{0}}f(z)dz¥,¥,¥¥ ¥vspace{30} &¥hspace{3}& +¥,¥,¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,{¥int}_{C_{R}}f(z)dz¥,¥,¥¥ ¥vspace{30} &¥hspace{3}&+¥,¥,¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,{¥int}_{C_{1}}f(z)dz ¥end{eqnarray}

ということが成り立つ。(扇形の半径を無限大にする、ということ)


ここで、

コーシーの定理から、左辺は

¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,{¥int}_{C}¥,f(z)dz¥,=¥,0


また、右辺は

経路C_{0}については(第2段階)、

¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,{¥int}_{C_{0}}f(z)dz¥,=¥,{¥int}_{0}^{¥infty}¥,e^{jx^{2}}dx

経路C_{R}については(第3段階)、

¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,{¥int}_{C_{R}}f(z)dz¥,=¥,0

経路C_{1}については(第4段階)、

¥lim_{R¥rightarrow¥infty}¥,{¥int}_{C_{1}}f(z)dz¥,=¥,-¥left(¥frac{1}{¥sqrt{2}}+j¥frac{1}{¥sqrt{2}}¥right)¥frac{¥sqrt{¥pi}}{2}

であるから、

以上を先の式に代入すると、


0¥,=¥,{¥int}_{0}^{¥infty}¥,e^{jx^{2}}dx¥,+¥,0¥,-¥,¥left(¥frac{1}{¥sqrt{2}}+j¥frac{1}{¥sqrt{2}}¥right)¥frac{¥sqrt{¥pi}}{2}

整理して

¥begin{eqnarray}¥vspace{40}¥frac{¥sqrt{¥pi}}{2¥sqrt{2}}+j¥frac{¥sqrt{¥pi}}{2¥sqrt{2}}&=&{¥int}_{0}^{¥infty}¥,e^{jx^{2}}dx¥¥¥vspace{40}&=&{¥int}_{0}^{¥infty}¥left(¥cos{x^{2}}+j¥sin{x^2}¥right)dx¥¥¥vspace{30}&=&{¥int}_{0}^{¥infty}¥cos{x^{2}}dx+j{¥int}_{0}^{¥infty}¥sin{x^{2}}dx¥end{eqnarray}


複素数の実部と虚部をそれぞれ分離すると

{¥int}_{0}^{¥infty}¥cos{x^{2}}dx=¥frac{¥sqrt{¥pi}}{2¥sqrt{2}}

{¥int}_{0}^{¥infty}¥sin{x^{2}}dx=¥frac{¥sqrt{¥pi}}{2¥sqrt{2}}


<フレネル積分の証明おわり>

(参考:「物理・工学のための複素積分 基礎編」)

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