yoshitake-hの日記

2014-06-08

[][]指数分布と Poisson 分布

定義

  • とする.
  • 正の実数に値をとる確率変数 で,

    であるものを 指数分布 という.
  • 非負整数に値をとる確率変数 で,

    であるものを Poisson 分布 という.

定理

確率変数の列 を,たがいに独立な平均 の指数分布の列とすると,

証明

2014-06-06

[][]カイ2乗検定

  1. 確率空間 に対し,確率変数 を,
    で定義する.






  2. 確率変数 を,互いに独立で, と同じ分布に従うものとし,
    とおく.



  3. さらに,

    とおく.
    • とおくと,




    • 分散分散行列 は,

      と書けるので, をみたし,
      に対し,

  4. したがって,中心極限定理より, のとき, 上の標準正規分布に収束する.これより次が従う.

K. Pearson の定理  のとき, は自由度 のカイ2乗分布に収束する.

[][]中心極限定理

2014-05-14

[][2分布・t分布・F分布

  • 確率変数 を独立な標準正規分布とする.
  • とおく.
  • とおくと,


  • 実数 に対し,分布関数が である確率変数を, 自由度 χ2分布 という.

    平均は,
  • を標準正規分布, を自由度 の χ2分布とし,これらは独立であるとする.
  • これに対し,

    とおく.
  • そこで

    とおくと,

    より,


  • を自由度 の χ2分布とし,これらは独立であるとする.
  • これに対し,
     
    とおく.
  • そこで,

    とおくと,

    より,



2012-05-10

[][]ヒルベルト空間上のガウス測度の非存在

をONBとする実ヒルベルト空間 にガウス測度が与えられているとする.

確率変数 はたがいに独立な標準正規分布である.

大数の強法則より,

ゆえに

一方, 矛盾.

2012-04-23

[][]二項分布,正規分布,Stirling の公式の定数

に対し,二項分布


の平均は 分散

とおく.

を固定すると, のとき,


となるような関数 を求める.

Stirling の公式より,

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20110627