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2010-12-15

100兆の階乗の右から数えて25兆番目にある数字は偶数であるか奇数であるか

| 12:14 | 100兆の階乗の右から数えて25兆番目にある数字は偶数であるか奇数であるかを含むブックマーク 100兆の階乗の右から数えて25兆番目にある数字は偶数であるか奇数であるかのブックマークコメント

はてダを見てると、プログラミングのアウトプット記事がとても多い

そんなノリで昔考えてた算数を出そうかなと

(1)30!の一の位は0である。ここから始めて十の位百の位と順に左に見ていく。最初に0でない数字が現れるまでに連続していくつの0が並ぶか。(中学生レベル?)
(2)(1)において最初に現れる0でない数字を求めよ。(最難関中学レベル 〜 国公立大学レベル)
(3)ここで「n!は10^kの倍数である」これをみたす自然数kのうち最大のものをpとしてf(n)=10^pとする。このとき以下の数の一の位の数字を求めよ。
(イ)100!÷f(100)
(ロ)100000!÷f(100000)
(4)100兆の階乗を10進法で表示したとき右から数えて25兆番目にある数字は偶数であるか奇数であるか調べよ。


問題を読んでほしいためこのようにしてみた



・k!に(k+1)をかけた時の変化を考える。
・nを素因数分解すると2の個数>5の個数なのでn!÷f(n)は偶数

・2の累乗の一の位の変化は、2→4→8→6→2→…


1をかけると0つ進む
2をかけると1つ進む
3をかけると3つ進む
4をかけると2つ進む
5をかけて10で割ると3つ進む

6をかけると0つ進む
7をかけると1つ進む
8をかけると3つ進む
9をかけると2つ進む
10をかけて10で割ると0つ進む



使われているのは10進法であるから2と5がポイント
一の位を注目することは(10a+b)とすれば明らか

さて、5つを塊にして考える。以下の合同式の法は10とする。

5!÷10≡2×1
10!÷5!÷10≡2×2
15!÷10!÷10≡2×3
20!÷15!÷10≡2×4
2×(25!÷20!÷100)≡2×(2×5÷10)
※左辺は6、右辺は1になるので補正。
(2×の環境において、6と1はともに2にいくので同じ)

30!÷25!÷10≡2×6




塊をくっつけるとこうなる。

30!÷10^7≡2^6×6!÷10(≡2^7×6≡8)

つまり、30が6へ、と次数下げもどきができたわけ。


以上が理解できれば。


100兆(10進法)=101101400兆(5進法)
100兆!÷10^(25兆-2)≡2^(25兆-2)×4!1!1!1!1!≡6
…□6が4の倍数なので□は奇数です




当時の問題製作者(ぼくだけど)の裏話。

100に対して25なのは等比1/5の無限等比級数の和が1/4から簡単な話なのですが、
まず、25兆-2の「-2」のケースを探す必要があり、そして答えが奇数になるケースを探した結果、
(10^n)!ケースでは100兆が最小で、それを問題にしました。



ぼくはいわゆる携帯世代でございまして、数式を携帯でたびたび書いてたり。

大変書きにくい話なのですが、本人には中学受験以降は数学の勉強も基本的に放棄を貫いた過去がありまして…



関連ネタめも

10と言えば…
普通の電卓を使用して2の常用対数の小数第10位の値を求めよ。…これは教育に実に良い問題ではないかとか思っている。
//黒歴史でよければ貼る。自分にはモバゲーは受験SNSでしかなかったけど、Yahooモバゲーでぷんすか
//http://yahoo-mbga.jp/490626/diary/297254772

「…」と言えば…
0C0−2C1+4C2−6C3+…が√5分の1ではないかという中二
//(a+b)^nに対してaに1、bに4、nに-1/2入れただけですがね。

階乗と言えば。
実は4!って4以下の全ての整数の積から0以下の全ての整数の積を「取り除いたもの」とかも考えたこともありまして。
具体的には→http://livedoor.blogimg.jp/yudai214/imgs/f/d/fd55b1d5.JPG

コンビネーションは好きでして。
http://livedoor.blogimg.jp/yudai214/imgs/4/b/4b253bf3.JPG
の結果から
極限値lim(m→∞)[2mCm/4^m−(mπ)^(-1/2)+(1/8)(mmmπ)^(-1/2)](mmmmmπ)^(1/2)を求めよ。とか

(nC13+n+12C13)+8178(n+1C13+n+11C13)+1479726(n+2C13+n+10C13)+45533450(n+3C13+n+9C13)+423281535(n+4C13+n+8C13)+1505621508(n+5C13+n+7C13)+2275172004(n+6C13)=n^13 である。とか

また、http://livedoor.blogimg.jp/yudai214/imgs/1/0/10c643c0.jpg
から、AA>Bと同値はA>√BまたはA<-√BまたはB<0(A実数)または-√(-B)<Ai<√(-B)である。ではAA<Bは?
とか



これ考えてた時は、受験の神様ってドラマとかやってた気がする。

あいにく本日未熟者
D


浪人生時の病気でした本当にありさんまーく!
http://livedoor.blogimg.jp/yudai214/imgs/7/9/79aa275b.JPG

大学一年でパソコン歴数十日目の病気。
http://f.hatena.ne.jp/yudai214/20081122130234
f:id:yudai214:20081122130234j:image:medium

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