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イデアル
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イデアル

(サイエンス)
【いである】

環 R の部分集合 I が

  • a,b\in I ならば a+b\in I
  • a\in I,r\in R ならば ra\in I

を満たすとき、I は R の左イデアルであるという。右イデアルも同様に定義できる。左イデアルかつ右イデアルであるものを、両側イデアル、あるいは単にイデアルという。両側イデアルは、ある環準同型の核と一致する環の部分集合とも言い換えられる。群論で言う正規部分群に対応する。

非常に重要な概念で、例えば有限生成多項式環のイデアルが常に有限生成であるという事実はヒルベルトの基底定理と呼ばれ、代数幾何学の礎の一つ。

リスト::数学関連

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夏休みの日記•昨日

修士一年2Q16日目

6/26(日) 晴れ 8時に起きた。午後にゼミが二つあるのでそれまで一つ問題を考えてた。関手性みたいなものがほしいんだけどできると思ってた操作が金曜日のセミナーでうまくいってないことに気づいた。真面目に考えないといけなくなったので考える。色々考えてたけど結局取ってきた元が全射で移した先で0にならないという必要があるのが難しい。heightが1のときはどうにかならないかと思って他の論文を参照にしてたけどなんかうまくいかない。test elementの議論を使いたいと思ったけどそもそも今本質的にほしい条件に関係してくれて無くて、大事なのはnormal性とheightが1であることで、これを外さない…

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ただのメモ•5 日前

『14日間でわかる代数幾何学事始』

14日間でわかる代数幾何学事始 | 海老原 円 |本 | 通販 | Amazon 忙しいので、太字だけ拾って、後は、批判的に考えて見て、納得すればいいや。 始めましょうか。 プロローグ（いざ代数幾何の世界へ） はじめに 代数幾何（式と図形の数学） 代数幾何学は多項式と多項式によって定義される図形を扱う 代数と代数によって定義される幾何 環には関数がよく似合う 単位元1をもつ可換環 有理整数環、整数環、多項式環 多項式全体を足し算と掛け算の2つの二項演算のある環と見なす。 全体の構造を捉える。 関数の集合は環になりやすい 多項式も一種の関数 多項式は図形を定義する n次元アフィン空間 体を要素に…

いのまるの秘密基地•18 日前

パズドラ攻略：裏・多次元の越鳥＆越鳥チャレンジクリアパーティー編成まとめ

2022年6月10日（金）メンテナンス終了後〜6月19日（日）23:59の期間で実施された「越鳥チャレンジ」のクリアパーティー編成を、詳細な立ち回りやレシート付きを優先してまとめました。 制限時間付きのスペシャルダンジョン「越鳥チャレンジ！【制限時間35分】」をクリアすると「越鳥」の称号がもらえるので、ぜひ参考にしてください。 この記事の内容は、チャレンジ実施当時のものです。 クリア報告リーダーまとめ（制限時間付きチャレンジ） リーベ × ラビリル アレキサンダー大王 × ラビリル 前田慶次 × ラビリル LF忍野扇 学園徳川家康 × 学園イナ（バラン始動 7×6リダチェン） クロロ × ブラ…

greatmomentsのブログ•先月

高校数学における複素数平面の背景

数学2において複素数というものを習った. 具体的には, 方程式の解の一つをと書き, 複素数はという形で表されているもので, 和, 差, 積, 商, 共役を考えることができるという内容であった. まずはの解について考える. 実数に対してが成立していることによりとなってしまい実数解は持たないことが分かる. そこで, 逆に解を持つような数の世界を考えようとする. 様々な構成法があるが, 一つだけ挙げてみよう. まずは体である. つまり, 四則演算ができる集合である. 体で, より大きな体を考えたい. そこで, 多項式は内に解を持たないのでをで生成される単項イデアルで割った剰余環を考える. これはの解…

Continue(s)•先月

ホビー数学08「抽象代数学への招待」（N予備校・特別授業）

…ということで、 N予備校生になりました！ （正しくは無料の体験受講生ですが。） 目当てだった、東工大の加藤文元先生による特別講義「抽象代数学への招待」を受講し終えたので、今日はその感想を書きます。 はじめに本題と外れたところで、私と加藤先生との出会いについて軽く触れておくと、大学生の頃に中公新書から出ている「数学する精神」を読んだのが最初だったと思います。 その後、（これはつい最近ですが）自分のPodcastでエヴァリスト・ガロアの紹介をするにあたって著書「ガロア 天才数学者の生涯」を読んで、加藤先生の文章は数学というトピックに関わらずとも面白いなあ、と思っていました。 さらに、先月放送され…

Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記•先月

[数論]高木貞治『初等整数論講義 第二版』第五章ノート その13 .ind { margin-left: 2em; line-height: 2.0; } §52ではイデアル問題Cに取り組む。問題Cってそもそもなんだったかもう忘れそうになっているので復習。 の左辺の不定方程式を解くという問題で、として、もし解が存在するとき から . 逆に解を求めるときには なるでなるものが解の候補となるが、一般的にはと書くことはできない（が標準的底の条件 を満たさないため）。ところがに含まれる単項イデアル（でノルムの条件を満たすもの）を全部しらべあげるので、解が存在していると とイデアルとして等しいものが見つ…

イマワノキワ•先月

映画『シン・ウルトラマン』感想

空想科学特撮映画”シン・ウルトラマン”を見てきましたので、これから感想を書きます。ネタバレしない範囲で言いますと、とても面白かったです。自分はオタクの教養をかなり下回る程度のウルトラリテラシーしか無い観客でしたが、『ここ、クソオタクがクソオタクをくすぐってんだろうなー』って部分を多数感じつつ、内輪受けで終わらない大きなモノにしっかり挑み、ユーモアもペーソスもあるいい映画でした。見終わった後、ウルトラマンと禍特対がしみじみと好きになれる作品だったのは、いい出会いが出来た嬉しさが視聴後に残ってくれて、とても良いことだと感じました。映画館で見るの、オススメです。

Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記•先月

[数論]高木貞治『初等整数論講義 第二版』第五章ノート その12 p.333 附記から。二次体の整数環のイデアル類数を具体例で計算してみようというコーナである。計算で出すというよりは、イデアル類の数を本当に数える戦略。 .ind { margin-left: 2em; line-height: 2.0; } さて、その前にちょっと準備がある。テキストではかなりさらっと流されているので確認しながら進めてみる。突然だが、二次体での判別式をとするときに次のような集合を考える。 (1) この集合の元から作られる二次方程式 の解のひとつを選んでと定義する。ここで、イデアルを考えようというのだが、これがw…

ただのメモ•2 か月前

Laurent多項式

勉強していたら、ローラン多項式なるものが出てきた。 まとめてみよう。 ローラン多項式 - Wikipedia Xを変数として、体Fに係数をとるローラン多項式 は有限個を除いて零 2つのローラン多項式が相等とは、全ての次数において、係数が等しいとき。 加法と乗法が定義される。 例 複素数体上のローラン多項式が、ローラン級数と見なせる ローラン多項式環は、多項式環に逆数を許した拡大環 有理関数体の部分環 ここで、ホップ代数、アルティン、ネーター、という単語が出てきた。 わからないので、最後に振り返ることにする。 その前に、ローレント多項式行列なるものがあるらしい。 Some Properties …

Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記•2 か月前

[数論]高木貞治『初等整数論講義 第二版』第五章ノート その11 §51はイデアルの問題Bを解決する。 「モ変形」の再登場。定理5.27の証明中、少しギャップがあるので補足する。 からいきなり、がさらっと書かれている。これはとを入れ替えて としたときに、２つの変換を続けて行ったのを行列で書くと と元に戻っているわけだが、右辺の行列の積の部分が単位行列に等しいことが言えればいい。しかし、このことは定義からが無理数、は有理整数であったので上（上でも）線形独立なので成立している。 逆にモ変形があったときに、 もいきなりだが、逆に一旦、と定義しておいて、 なのでOKである。モ変形は逆変換があるので、と…

IDEAL's Voice•2 か月前

ESXi6.7インストール中に「No Network Adapters」エラーで失敗

はじめに 概要 トラブル内容 結論（原因 / 対応） 原因 対応 詳細 調査1 調査2 補足 おわりに はじめに 株式会社イデアル ソリューションビジネス部 Technical Engineer 二ッ神です。 FQDN likeに書くとこうですが、長いですね…。次回からは、短縮系で。 ついに、弊社でも待望の企業blogが始まりました。 これから世の中に向けて、技術情報をポジティブに発信していきます。 皆様の一助になれば幸いです。 概要 自社の検証環境にあるPRIMERGY RX200 S7に導入したVMware ESXi 5.5の更改に伴い、ノートパソコン：Dell Inspiron 14イン…

A1 ホモトピーと Milnor 予想を勉強しているブログ•2 か月前

Hecke指標: 導手を固定してイデールの商を計算

前の記事で、Hecke指標の構成法を云々しながら気づきましたが、結局のところ私は、知らないうちにイデール群の商を計算しようとしていたのです。そして、この商はエキゾチックなものなどではなく、昔ながらの仲間たちの同窓会のような群なのです。このことを説明します。 Hecke指標の導手, 導手を固定して、ありうるHecke指標を考える, 指標群への帰結 Hecke指標の導手 Hecke指標 $c\colon \mathbf I_k \to S^1$ が与えられたとします。有限個の$\mathfrak p$を除いて、その局所成分 $c_{\mathfrak p}\colon k^*_{\mathfrak…

檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)•2 か月前

幾何代数、クリフォード代数って何だ？

先日行われた「量子と古典の物理と幾何@オンライン」において、中村匡〈Tadas Nakamura 中村匡 (@gandhara16) | Twitter〉さん（面識はないのですが「さん」と呼ばせていただきます）が時空代数とかマルチベクトルとかを紹介されていて、面白そうだなと思いました。その後、ブレークアウトルーム（中村さんは不在）で会話したことは： 微分形式（外積が入った双対空間）に似ているところがあるが、双対空間を取る必要はないようだ。 スカラーもベクトルも“混ぜ混ぜ”に掛け算できるのが嬉しいみたいだ。 どうやら、ジョニー〈Hiroki Fukagawa (@hiroki_f) | Twit…

A1 ホモトピーと Milnor 予想を勉強しているブログ•2 か月前

Hecke指標: 定義と構成法

とうとう逃れられなくなってきたので、仕方なくHecke指標と、それにより定まるL関数の勉強をきちんとすることにしました。 文献, 指標とは, イデール群, Hecke指標とは, 局所成分の決め方の自由度, パラメータtのはたらき 文献 John Tateの博士論文がCassels, Fröhlich 編「Algebraic Number Theory」末尾に掲載されていて、標準的な文献です。ネットに落ちているという噂を聞いたことがありますが、良い子の皆さんは正規の方法で入手・利用しましょう。 この記事では、Cassels-Fröhlich本のどこに書いてあるかなるべく明記します。ページ数は、本…

Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記•2 か月前

[数論]高木貞治『初等整数論講義 第二版』第五章ノート その10 §50の問題を見ていこう。いやはや、GWで時間があると思うと逆に勉強しなくなりますな。[問題１] を原始イデアルの標準基底での表示、を素因数分解とすると、次は素イデアル分解となる。 . ここに] 証明はテキストの通りだが、でノルムが素数のイデアルは自動的に極大イデアルとなるので、上式が素イデアル分解を与えている。元が原始イデアルなのでここで現れる素数は、分岐か完全分解の素数に限る。[問題２]原始イデアル , において であるとき、]. ただし、は合同式 から求められる。 中国剰余定理によりが求められ、かつ でどの解も合同なので結…