オイラーの公式

(サイエンス)
おいらーのこうしき

[英] Euler's formula
オイラーの公式とは、

e^{i \theta} = cos(\theta) + i sin(\theta)

で表される等式。ここでiは2乗すると-1となる虚数単位、eネイピア数である。
実数の世界では全くの無関係のように思われていた指数関数と三角関数が、複素数の世界では親戚どころか兄弟であったことを意味する重要な式であり、ファインマンはこれを「オイラーの宝石」と表現した。

証明はキーワード「テイラー展開」の「具体例」を参照。

オイラーの等式

この公式において\theta=\piとすると、
e^{\pi i} = -1 あるいは e^{\pi i} + 1 = 0
という「オイラーの等式」が導かれる。

この式は、

  • ネイピア数 e
  • 円周率 \pi
  • 虚数単位 i

という、それまで全くバラバラの分野で扱われ、何の関係性も持ち得ないと思われていた3つの数が、実際には結び付けられるどころか、非常にシンプルな解を導き出すという非常に重要な等式である。
数学者たちはこの予想外の調和・連関を「人類の至宝」「人類史に残る不朽の名作」と表現している。

参照:[question:1105793000:title]

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