ガロア

今年もしこしこやっていきましょうかねえ。 取り敢えず、例年通り演習問題の解答を作っていこうと思っているのですが、演習問題は去年と大体同じになるっぽいんで、先ずは去年のページ(２０２０春学期代数Ⅰ演習問題略解。)を参照しておきます。 後は、講義で使われる教科書(堀田先生の代数入門)は、数学的にはとても良い本で、読めるのならこれを読んでおけば良いのですが、恐らく初学者にはまあまあ難しい気がするので、代替本を幾つか紹介しておきます： ・中島匠一先生「数論と代数の基礎」共立出版。 俺が初めて読んだ代数の本です。定義導入の動機付け、定義や定理の使用上の注意、証明の記述、どれを取ってもかなり丁寧です。(数…

現在２０２１年４月７日２１時１５分である。（この投稿は、ほぼ２０８７文字）麻友「あれっ？ フーリエ？ 『細胞の分子生物学』は？」私「『細胞の分子生物学』続かないんだよ。折角、麻友さんと楽しむための、『女の人のところへ来たドラえもん』のブログに移したのに、２回やっただけ。しかも、実質的に進んでない」結弦「『フーリエの冒険』は、お父さんには、易しすぎるんでしょ」若菜「でも、難しい話ばかりして、お母さんに嫌われたら、お父さんに取っては、元も子もないのよ」私「そういうことなんだ。そして、今回、もうひとつ決心をした。『場の量子論を制覇しよう！』というブログの、『あまりの誤解』という投稿で、宣言した、「５…

丁寧にガロア理論を勉強して、なんとなく書いていることは理解できた気にはなっていたが、ひと月もするとなんだかよくわからなくなってしまう。手元には勉強した時の多量のメモだけが残る。理解したくて勉強したガロア理論だから、時々思い出しては、新たにメモを書き加える、曖昧模糊としていたとしても。 体Kの元を係数に持つ多項式f(X)の根(解とはちょっとニュアンスが違うらしい) α 1 , α 2 , … , α n 全てをKに追加した体Lを考える; L = K α 1 , α 2 , … , α n f(x)が既約多項式かどうかは常に気になるが、解の公式の有無を調べようとしており、既約でなければその既約因子…

『今度こそわかるガロア理論』(p.147) [定義] 根号表示 を含む体 上の多項式 の根 が（ 上で）根号表示されるとは， の元と根号 と四則演算によって が表せるときにいう．そして 上の多項式 のすべての根が（ 上で）根号表示されるとき， は代数的に解けるという．（ の代わりに 上で考える立場もある．） 根号表示されることの意味を別の形で述べてみよう． を含む体 の有限次拡大体 とその中間体の列 があって，各 に対し となるとき， は体 のべき根による拡大体であるという．そして が の元であるとき， は（ 上で）根号表示されるという． 『ガロワと方程式』(p.141) さて，べき根とは の…

大学院修士課程を卒業し数学の修士号を取得しました。思い出深くなったので大学入試から修士卒業までを振り返ってみようと思います。 もともと数学は好きだった 教師を目指した 教師を目指すことをやめた 素数定理と出会う 修士課程へ 博士課程に行くけれど (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); もともと数学は好きだった当時、海猿を見て「俺も海上保安官になるんだ！」とのたまって海上保安大学校の赤本まで手に入れちゃうあほちんな高校生だったけど、そのころから多少数学が好きな片鱗はあった気がします。高校でのテストはほとんど一夜漬けだったけど、数学と物…

4/2(金) 晴れ 11時に起きた。12時だったかも。午後に飼い犬の注射のために出かける必要があったので院試を解くのはその後にした。その時間まではご飯を食べたり昨日できなかった完備化の同型を確かめたりしていた。同型のほうはわからないと悩んでいたけど改めて写像をしっかりかいて眺めていたらそれでもう全単射になっていることがわかった。 注射に行った後は院試を解いた。今回解いた年度のやつはガロア理論の問題がなくて一つよくわかんない群論の問題だったからその代わりにホモロジー群の問題を解いた。ホモロジー群の解答をどう書くか悩んだけど結局図とその間の同相性の根拠を書いて終わらせた。 その後は配信とか見ながら…

昔から興味があって、関連書籍を手にとっては挫折を繰り返したガロア理論を本腰を入れて勉強してみた。良い時代になったもので、一つの文献なり書籍をベースに、その中の解説が理解できない時は、インターネット上で関連文献をあたり理解を進めることができる。 なぜ私がガロア理論を学ぶのが難しいのか それはひとえに、細かいところが気になってしまうからである。 当然ながら、ガロア理論の解説書は、前提としている代数学上の知識がバラバラであり、細かいことにこだわると先に進めないので、例を上げて、一般論を簡単に説明して議論を進めることが多いように思う。最初のうちは順調に読み進めても、後ろの方で、それがネックになり議論が…

パソコンを買って寝る前まで画面ばっか見るような生活を毎日送ってたら朝に弱くなってしまった。今日も9時起きだ。しかも親に起こされてる。みっともない。 今日やったこと 午前はC言語の勉強をしてた。配列の配列とかいうやつが式の中でどういうふうに読まれてるのかっていうのをやった気がする。なんとなく分かった。 午後はガロア理論と微積と多様体をやった。巡回クンマー拡大ってのと零集合ってやつと多様体は演習問題をいくつか解いた(二問だけ)。 巡回クンマー拡大ってグンマー拡大みたいで群馬県が拡大するみたいで面白い名前だなーと感じた。アホなのであんまよく分からなかった。 微積は有名な杉浦解析ってやつで勉強してるん…

\(Q\)の拡大\(Q(\sqrt{2},\sqrt{3})\)のガロア群\(Gal(Q(\sqrt{2},\sqrt{3}))\)の要素である自己同型写像を１つ取り(\(\sigma\)とする)、その写像による\(\sqrt{2}\)及び\(\sqrt{3}\)の行き先である\(\sigma(\sqrt{2})及び\sigma(\sqrt{3})\)を計算してみました。 σについて分かっていることは、和のσはσの和（加法的）、積のσはσの積（乗法的）、有理数のσは変化しない、そしてこれらの結果として、σの二乗は二乗のσです。これらをMaximaの宣言とルールで実装したのが、以下の(%i1)〜…

8:30起床。眠いなーとか言ってたら何もせずに10:00になっていた。不思議。とりあえず、ご飯を食べて藤崎「体とガロア理論」で桂代数3に載ってない内容をパラパラ見ていた。その後はご飯を食べて、昼寝していた。2時間ほど。起きた後、高橋礼司複素解析の一致の定理の辺りとか最大値の原理とかを読み、そのまま、複素射影直線が複素平面のコンパクト化になっていることを用いた代数学の基本定理の証明とか、局所コンパクト⇔コンパクト化できるとかの証明を久しぶりに読んでいた。少し複素解析をやった後なので、初めて読んだときにはfactにして流したところとかを詰めて読めたので良かった。複素解析も本当はもっとちゃんと勉強し…

10:30起床。ご飯を食べて大学に向かう。 11:30大学着。天気も良く、チャリが気持ちよかった。その後、大学の図書館に向かう。そこでいくつかの借りようと思ってた本を探したけど見つからなかった。しょうがないのでふらふら散歩してたら、堀田先生の「加群十話」日比先生の「グレブナー基底」、Awodey「Category Theory」などが目についたので借りた。図書館散歩、色々な物が目につくのでとても楽しい。借りるのはどうせ無料だし、学生の特権ということで手当たり次第借りてきている。まあちゃんと時間を取って読んでるのなんてほとんどないけど、適当に目を通すだけで色々面白いので良いかなってなっている。気…