ガロア理論

現在第4章の「体の代数拡大」の章に入りました。4.9[例題]に「体Q(\sqrt(2))の自己同型群Aut(Q(\sqrt(2)))を求めよ」という問題が載っています。私にとって代数の本の練習問題で難しいのは、この手の問題です。XXX群を求めよといっても、どうやればよいのか、（たくさんあったときに）どう答えたらよいのか、よくわからなかったのです。この例題の解答には、「最初であるから、自己同型を決定するプロセスを、丁寧に説明してみよう」とあります。これによって、どう考え始めたらよいのか、どう答えたらよいのか、実例を見ることができ、とても助かります。 もうすぐ、メインの部分の半分まで到達します。後…

ガロア理論のよくあるポイントは、以下の通りです。１．「方程式が代数的に解ける」: 係数に対する加減乗除の四則演算と冪根を求める有限回操作で解を持つ つまり、『冪根拡大体の列を持つ』 例えば、方程式X⁵＝５は、冪根で表されるので、代数的に解けます。 ２．「ガロア群が可解群である」： 『ガロア群が正規部分群の列を持ち、全ての剰余群が巡回群である』 例えば、方程式X⁵＝５のガロア群は、素数位数５の巡回群になるので、ガロア群は可解群です。 ３． 『冪根拡大体の列を持つ』 ⇒ 正規拡大体の列にできる ⇒ 『ガロア群が正規部分群の列を持ち、全ての剰余群が巡回群である』 なので、 「方程式が代数的に解ける」…

ガロア理論の要点は、以下の通りです。(方程式の最小分解体) L ⊃ (中間体) M ⊃ (方程式の係数体) Kにおいて、(Lの不変群) Gal(L/L)={e},(Mの不変群) Gal(L/M)=N,(Kの不変群) Gal(L/K)=Gとすると、{e} ⊂ N ⊂ G となります。１．方程式の最小分解体Lは、その中間体Mのガロア拡大になる⇒ 最小分解体Lの中間体Mに、ガロア群N＝Gal(L/M)が定義できる(ガロア対応)２．方程式が代数的に解ける⇒中間体Mが係数体Kの(原始)冪根拡大になる⇒ ガロア群{e}=Gal(L/L) ⊂ N=Gal(L/M) ⊂ G=Gal(L/K)が、正規部分群列 …

※2012年9月26日のYahoo!ブログを再掲。 ↓↓↓ 乱択アルゴリズムに続く、数学ガール第5段。もう5作目かぁ。 本作でのテーマはガロア理論。ガロアって誰？ってことでちょっと調べてみた。ウィキペディアによると、 エヴァリスト・ガロア（1811-1832）は、フランスの数学者および革命家である。 とのこと。 1811年生まれで20歳で亡くなっている。1811年生まれといえば、ナポレオン2世、佐久間象山ってところ。日本は江戸時代で、ガロアの生まれたフランスは、ナポレオン帝政の絶頂期ってところになる。 ガロアの生涯については本書では多く触れていない。むしろ波乱過ぎる生涯にばかり目が行きがちなガ…

今日も疲れて大学から帰ってくる私一（はじめ）は家で寝る。 目を開けると白い空間に寝たきりの人がいて、BPMが一定のリズムを示していた。 「x^y-y^x=0」（エックスのワイ乗マイナスワイのエックス乗イコールゼロ） 自明な解はあるが、非自明な解はあるだろうか？ 目が覚めると何の変哲もない自宅のベッドにいた。朧げながらあの人の顔は覚えていたが、私の中にはあの式しか残っていなかった。 通学電車の中で私はあの式について考えていた。移行して両辺をxyの逆数乗すれば、対照的になるので増減からみて最大元はe（ネイピア数）だと思う。負の方向はあまりに複雑すぎて考えたくもない。またx^(1/x)+→1なので非…

現在２０２２年２月２８日１９時５７分である。２０２２年５月３１日２２時３６分加筆し投稿する。（この投稿は、ほぼ４３０１文字）麻友「太郎さんを、本気にさせるのって、どうしてこう、面倒くさいの？」若菜「必ず、色仕掛けで、やらないと、駄目だし」結弦「この投稿だって、元の題は、『何のために働くのか、何のために勉強するのか』だったし、その前に、『私、セクハラしたことが、あります。』という題でも書いてた」 これです。『何のために働くのか、何のために勉強するのか』＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 現在２０２２年２月２８日１８時４９分である。麻友「また、随分大げさに」私「先日から…

現在２０２２年５月２８日１８時１９分である。（この投稿は、ほぼ３７４０文字）麻友「太郎さん。これが、終わったら、後、２問しかないのよ。弾切れに、ならない？」私「フフフ。私が、数学で、弾切れになったりは、しない。そうは、言うものの、相対論のブログの、問題シリーズは、問題１５，１６（その３）で、終わってしまったな」若菜「面白い問題で、お母さんも解けて、後で役に立つ問題、とかなると、どんどん、作りにくくなるんでしょうね」結弦「そりゃ、まあ、お母さんのレヴェルに合わせるのは、大変だよなあ」私「あんまり、いじめるなよ。ごく普通の文系のひとというと、お前たちのお母さんと、ほとんど、ドングリの背比べ、なんだ…

GW前に小生が所属している有機エレクトロニクス材料研究会、通称JOEMで「非平衡現象」をテーマとした研究会（249.pdf (organic-electronics.or.jp)）があり、途中から参加した。同日パシフィコ横浜で開催されていたOPIE`22（OPIE'22 - 光とレーザーの最新技術・製品・情報が集結！）のIOWNのセミナーにも参加していたため途中からとなってしまったが、非常に面白い研究会であった。非平衡系は散逸構造に代表されるように秩序の形成とも関連し（平衡系でないのに秩序が生まれるところが）非常に面白い。大学1年の時にドイツ語の授業をサボって（女性の先生で、ものすごく厳しかっ…

現在２０２２年５月１０日１６時３３分である。（この投稿は、ほぼ３４２３文字）麻友「わーあ、久し振りの算数」私「すっぽかしたりは、しない。ＡＫＢ４８小学算数 (ＡＫＢ４８学習参考書)学研プラスAmazonの、私の４番目の間違い。第４１番だったね」麻友「うんうん。見てみたい」私「恥ずかしいけど、若菜「あちゃー。計算ミス。どうしてこんな」結弦「『次はチーム対抗のリレーよ。まず，トラックの周りの長さを調べなきゃネ。下のトラックの周りは，全長何ｍかしら？』という問題」若菜「手堅く、４０ｍ✕３．１４＝１２５．６ １２５．６＋１６０＝２８５．６ で、 答え ２８５．６ｍ は、合っているようですけど」麻友「間…

「1/2+1/3」という分数の足し算、勿論、殆どの日本人は通分して答は出せると思うのですが、「何故通分して分母を合わせるのか？」という事を納得している人間は、如何やらそんなに多くはないみたいなのです。 さて、お得意の自分語りですが、俺は小学生の頃、これを習った時に、確か家で「2等分されたピザを3等分して、また3等分されたピザを2等分してみたいな絵を描いたりして、自分で納得する」という作業をしました。教師に言われた事を自分で納得せずに猿真似する事が、兎に角嫌だったので。代わりに宿題の算数ドリルは一切しなかったので、勿論、テストの点数は(公立小学校で！)ずっと下の方でした。一方で100点とか取る連…

本日2022/4/17は2022年アドベントカレンダーの-228日目になります（2022/11/30を-1日目とする）。4/20からにするとちょうど225=25*9なのでアドカレ9回分とキリがいいのですが、そうやって延期すると一生やらないことを私はよく知ってるので、正直眠たいですが思い立った今からやります。 5章はガロア理論です。数年前に数学科出身の人に「数学をやるならガロアが（楽しいから）おすすめだよ」的なことを言われたので気にはなってたんですよね…気合と根性がなくて先延ばしにしていました。 とりあえず序文を眺めていますが、「体Fを特定の体Kの拡大として考える」「代数拡大・超越拡大があって、…

window.MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']], //行内の数式 displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ], //独立行の数式 processEscapes: true //数式の外でもドルマークが使えるように } }; \[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb…

2021年度が終わり、2022年度が始まった。今日はオフなので、YouTubeで数学の講義を見まくった。ぼく、数学にこんなに癒されるとは、思ってなかったけど、抽象的な世界や形などをイメージするのが、脳に心地いいらしく、数学のレクチャーを聞いた後だと、空気が美味しく感じるし、ピアノを弾く感覚も変わる。今だけかもしれないけど、とにかく楽しいのだ。楽しくて、講義ノートを取って、複数の講義を梯子し、気がつくと何時間も経っている。数学→音楽→畑仕事→四股→数学→音楽→畑仕事→数学、、、、というような一日。 すっかりやる気になったのと、30年ぶりなのに、意外に次々思い出して、学生時代の頃の数学力（学部3回…

こちらの文献を調べる。 細かい所を抑えつつ、全体的な構造を、自分なりに考えたい。 大事なこと 定型表現をしる 物事の意味を考える時、他の意味を考える。 状況や気持ちを考える 始めましょうか こちら。 論は対象と性質の関係の類似性を見つけるのに使える 異なる数学的分野でも同じ見方に 詳細に踏み込まず、簡単に思考出来ることがある εδ論法と組み合わせ ガロア理論を圏論で説明する ガロア理論は、体論と群論の架け橋 関手がその橋渡しの役目 関手は異なる数学分野を片方から他方へ構造を保って行く道 圏論の復習 圏は、対象と射と、以下のものから構成される 各射はdomain, codomainをもつ 圏の射…

こんにちは。昆布です。 私は普段、キャンパスでいちゃついているカップルを横目に 「大学は学問をする場所だぞけしからん！！」 と心の中で呟きつつ、図書館の地下にこもって数学を勉強しています。 専門課程に進む前ですので完全に独学でやっているわけです。 思えば独学を始めたのがちょうど入試の直後でしたので、もう一年経ちます。私の勉強スタイルは基本的に独学で、大学入試の時もそうでした。ですから、お恥ずかしながら自分のことを独学のセミプロと思ってしまっているのです。 そんな私が、この一念で独学したことをこの場で発表したいと思います。私の回顧録として、あるいは同じく数学を志される方の一つの目安として、何らか…

ここではイデアルの和と積の定義についてまとめたいと思います. 基本的なことではあるのですが, わりと最初は定義を勘違いしやすいと思うので読んでみてください. まずはイデアルの定義を確認しましょう. なおここでは環といったら可換環のことを意味することにします. 定義 1.(イデアル) を環, が次を満たすとき, のイデアルという： の加法部分群である. ならば . イデアルは整数の「 の倍数全体の集合」の一般化にあたる概念です. 実際, はイデアルになります. なぜなら の倍数どうしの和や差はまた の倍数になる 整数と の倍数をかけると の倍数になる からです. あとの具体例で使うので, 環 の…