ブール代数

ブール代数

(サイエンス)
ぶーるだいすう

Boolean algebra
後に挙げる公理を満足する代数的構造 (B,\vee,\wedge,\neg,0,1) であり、束論的には有界かつ分配的な束で、補元を持つものとして定義される。しばしば二元ブール代数を指してブール代数ということもある。古典論理の意味論であり、論理学と深いつながりがある。

  1. \forall x\forall y(x\vee y=y\vee x)
  2. \forall x\forall y\forall z(x\vee(y\vee z)=(x\vee y)\vee z)
  3. [tex:\forall x\forall y\forall z*1]
  4. \forall x\forall y(x\vee (x\wedge y)=x)
  5. \forall x(x\vee 0=x)
  6. \forall x(x\vee\neg x=1)
  7. 上の6つの論理式に現れる 01, \vee\wedge を交換した論理式。

ブール代数で成立つ等式は∧と∨、0と1をそれぞれ交換しても成立する。何故ならば、等式の形式的証明に現れるすべての∧と∨、0と1を取り替えてもやはり正しい証明になっているからである。この性質をド・モルガンの双対性という。

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*1:x\vee y)\wedge(x\vee z)=x\vee(y\wedge z

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