→ベクトル束
おそらく2019年最後の記事。別に総括とかを意識はしてないですが、結果的にそれらしい記事になったかも知れません。自分で書いた過去記事を読んで「なんだこれ？」と思うことがあります。内容が分からないというよりは、動機を思い出せないのです。「何のために、この記事を書いたのだろう？」が不明になるのです。最近書いた幾つかの記事： 記法に関する記事： バンドルと層の記法 まとめ バンドルと層の記法 速記用 関手と飾り文字 多様体上の関数、微分形式、接ベクトル場などの書き方 指標とインデックス付き圏に関わる記事： 指標のパラメータ化とグロタンディーク構成 コジュール接続の圏 セクション空間関手がとても便利な…
なにかについて伝える・語るとき、書き方・言い方を決めておかないと、行き違いや混乱が起きて苦労します。なので、記事タイトルにあるモノ達の「書き方」を決めておきます。扱うモノは、バンドルのセクション空間から派生するモノ達だけです。つまり、バンドルのセクション空間に対する幾つかの略記法を決めます。決めておきたい理由は、様々なバンドルの様々なセクション空間がとても重要で頻出するからです。内容： バンドルの局所セクションの集合 Γに関する省略規則 Ωの定義と省略規則 ΦとΞ 層としてのセクション空間 バンドルの局所セクションの集合（なめらかな）多様体を M, N などで表します。E, F などは多様体上…
参考： バンドルチャートとホロノーム座標 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 自明バンドルとホドグラフ変換 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 便利！ アクティブ変換とパッシブ変換：フレーム付きベクトル空間 V = (V, f:Rn→V) において、 行列Aが「アクティブ変換の行列」だとは、Aが a:V→V のfによる表現のとき、つまり、A = mat(a by f) 行列Aが「パッシブ変換の行列」だとは、Aが (A;): f f' のとき、つまり、Aは前結合によりフレーム空間に作用している。 パッシブ変換の行列は、フレーム空間に対してはアクティブに作用する。群元が「アクテ…
曖昧な記法だと、ほんとに話がグチャグチャになって、考えがまとまりません。記法の整理・整備は大事です。内容： 飾り文字 注釈飾り文字 識別飾り文字 関手飾り文字 微分幾何からの例 まとめ 飾り文字上付き・下付きで小さく書く文字・文字列を飾り文字と呼ぶことにします。上の例で： a は左上付き飾り文字 b は左下付き飾り文字 c は右上付き飾り文字 d は右下付き飾り文字 X は親文字 「文字」と言ってますが、文字列でも複雑な表現でもかまいません。右下付き飾り文字は非常によく使われます。右上付き飾り文字も、累乗以外でも使われます。伝統的テンソル計算では、上下添字（右上付き飾り文字と右下付き飾り文字）…
U ⊆open M E→M はベクトルバンドル VはEの典型ファイバーのベクトル空間 G = Aut(V) L = Gのリー環 Exp:L→G は指数写像 自明バンドル上の平行移動Πが calculable 〈微積計算可能〉とは： [U×L] はLファイバーの自明バンドル A∈Γ([U×L])Ω(U) これは平行移動形式〈parallel-transport form〉 Π(γ) = Exp(∫γA) ∈G Π(γ)(v) = Π(γ)・v 局所自明化により calculableになる平行移動は locally calculble 〈局所的に微積計算可能〉。例：2次元多様体上の複素直線バンドル…
ここ最近書いている一連の記事はゆるく関連しています。 コジュール接続の圏 代数的平行移動 騙されるな、接続係数（クリストッフェル記号）の仕掛け 「共変微分と平行移動は同値な概念である」というよく知られた事実を、できるだけハッキリと記述したいなー、と思っているのです。「共変微分と平行移動の同値性」は、次の過去記事である程度は取り上げました。 多様体上のベクトルバンドルの接続と平行移動 しかし、この過去記事の内容は、一部分だけ切り出して述べているだけで、全体的な構造は明らかではありません。（一部分だけの）定式化も未整理な印象があります。「共変微分と平行移動の同値性」を全体的・包括的に、かつスッキリ…
「コジュール接続の圏」で、共変微分の話をしました。そこで次のようなことを書きました。 選んだひとつの共変微分に対する、他の共変微分の“差分”（End1Form(E)Ab の要素）がいわゆる“接続係数”を定めます。ただし、共変微分の空間 CovDer(E) には、特別な基準点は存在しません。一様というかノッペラボウ。 「いわゆる“接続係数”」という言い方 -- これはね、接続係数って誤解されている気がするんですよ。接続係数は差分なんだけど、差分とは思ってない人がいそうです。 単一の共変微分があっても、それから接続係数を決めることはできません。 2つの共変微分があってはじめて、差分としての接続係数…
最近、ベクトルバンドルと共変微分、つまりコジュール接続について考える機会があったのですが、共変微分と同値な概念として平行移動があります。共変微分の代わりに平行移動が使えるのなら、 コジュール接続 = ベクトルバンドル＋共変微分 ＝ ベクトルバンドル＋平行移動 となります。この話題については以前述べたことがあります。 多様体上のベクトルバンドルの接続と平行移動 上記の記事では、平行移動から共変微分を作り出すために、局所的・無限小的な議論をしています。そのため、ゴチャゴチャした印象があります*1。ここでは、いったん局所的・無限小的なことは忘れて、平行移動の代数的、あるいは圏論的な構造だけに注目して…
カリー化と線形代数と微分幾何に関する小ネタです。内容： 設定と約束 カリー化 共変微分 設定と約束RとFは可換環で、R⊆F （RはFの部分可換環）だとします。A, B などはF-加群だとします。R⊆F だったので、A, B などはR-加群でもあります。文字の使用法は次のように約束しましょう。 文字 用途 α, β Rの要素 f, g Fの要素 a, b, a', b' A, B の要素 K 双線形写像 微分幾何での想定（あくまで一例）は： R = R F = C∞(M) （Mは多様体） A = ΓM(TM) （TMはM上の接ベクトルバンドル） B = ΓM(E) （EはM上のベクトルバンドル）…
