ホモトピー
位相空間 X から Y への二つの連続写像 f , g : X → Y に対して、連続写像 H : X × [0,1] → Y で
H(x,0) = f(x) , H(x,1) = g(x) (∀ x∈ X)
となる H を f から g へのホモトピーという。
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きゅう
去年こんなに寒かったっけ？ってなってます。 書き方を変えて先に進捗を書いてから最近の日常を書こうかと(日記的な？)・シンプレクティック多様体の定義と復習・Thom類とEuler類の関係・被覆空間のリフトとファイバー束のホモトピーのリフト・基本群、特異単体複体(授業)・多様体の角、接合、切断、連結和相変わらずなぜかシンプレクティックトポロジーの本があんま読み進められてないです。2つ目はゼミの本でなかなか面白くなってきてますね。ただ、来週発表なので準備を始めないとって感じですね。3つ目は授業でもちょっと出てきたのでやりました。この調子でゆっくり読み進められればいいかなぁと。授業は思ってたより早く進…
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はち
着る服が困る季節になりました。そしてわりと定期的にくる「俺の本当にやりたいことってなんなんだぁ」って悩むやつをやってます。そんなこんなで色々やることを取っ替え引っ替えしてる感じです。と言うわけで今週の進捗は・PDEの復習・A∞代数の定義・管状近傍・Thom類とPoincaré dualの関係・複素構造PDEは、準線型の1階とラプラス方程式と空間1次元の場合の熱方程式と波動方程式の復習です。復習といっても初学に近いのですけれども。フーリエ級数展開って便利ですねって感じでした。ひとまず微分方程式の復習は満足したのでこれで一旦おしまいです。A∞代数については添字がすげぇって感じですね。(まぁ曲面論だ…
エレファントなポアンカレ予想(1)
「論理プログラミング的ポアンカレ予想」は「エレファントなポアンカレ予想」に変更しました。エレガントではないものをエレファントというそうです。「補助線を1本引けば証明できる」というのがエレガントであるのに対して「計算すればできる」というのがエレファントとなります。この意味でホモロジー、ホモトピーの計算は非常にエレファントと言うことができます。これを論理プログラミング的な手法でさらにエレファントにすることができるか、ということが「エレファントなポアンカレ予想」の一連の記事の目標となります。「はじめてのトポロジー」では曲面の分類を行っているので、この計算をやってみたいと思うのですが、曲面の定義は あ…
論理プログラミング的ポアンカレ予想(2)
2次元の場合を見ていく前に、ホモトピーの定義がないとわかりにくいので、定義を書いていきます。ホモトピーのことが書かれた本を持っていなかったので「大学数学の入門5幾何学2 ホモロジー入門」という本を買いました。この本に従って説明をしていきますが、一般的な定義が何かよくわからないのでWikipediaも参考にします。多様体については本を持っていたと思うのですが見つからないので「大学数学の入門4幾何学1 多様体入門」という本を買いました。上記の本と同じシリーズなので整合性があると思われます。多様体についてはこの本に従って説明していきます。 基本群 を位相空間とします。 の閉区間 から への連続写像 …
論理プログラミング的ポアンカレ予想(1)
ポアンカレ予想の説明をWikipediaに従って書いてみます。ポアンカレ予想は1904年にアンリ・ポアンカレによって提出されたもので「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」という主張で、7つのミレニアム懸賞問題のうち唯一解決されている問題となります。グリゴリー・ペレルマンによって2002年から2003年に発表された論文で解決されたと言われています。ポアンカレ予想の一般化として「 次元ホモトピー球面は 次元球面同相である」という問題を考えることができます。この問題は の場合は古典的な事実であり、 の場合はスティーヴン・スメイルによって(1960年)、 の場合はマイケル・フリードマンによ…
なるほど虚数―理工系数学入門 村上 雅人 (著)
なるほど虚数―理工系数学入門 村上 雅人 (著) 「なるほど」の量子力学シリーズから始まり、全シリーズを読もうと思う。 今回は「虚数」を完読。 複素インピーダンスの導出 複素関数論の直観的な導出（留数定理等） 量子力学の波動方程式でのハミルトニアンでなぜ複素数が必要なのか その他、オイラーの公式について、位相がπ/2ずれた実部、虚部を表現できることなどは基礎ではあるが、面白い。（実際、応用のシーンではHilbert変換や複素ウェーブレット変換でも同様の構成を用いる。深い。） 複素関数論は、数学者の本を何冊も読んできたが、ホモトピー等、位相的な議論から、コーシーの積分公式の証明は大変骨が折れる。…
いち
勉強してる内容を頭の整理がてらちょこっと書ける範囲で書こうかなぁと。曜日で勉強内容を管理してる人なので、同時並行で4冊くらいの本を読んでて、今は位相幾何、ファイバー束、曲面論、圏論の本を読んでます。と言うことで早速、先週勉強したことを書いていきます。 位相幾何完全列の分裂をやりました。もはやホモロジー代数ですね。分裂している短完全列の真ん中が左右の直和と同型になるってサラッと書いてあってその行間埋めとかです。あと普遍係数定理をちょっとやっていまいちピンとこなかったのでTorとExtを先に勉強してからもう一度フォローしてみようかなぁといった感じです。ゼミでBott,Tuを読んでるのでPoinca…
残りもの？
今回は、なんで幾何系に進んだのかを書き起こしてみようかなぁと。遡ること高校時代、特段数学ができるわけじゃなかったけど好きでした。数学について考えるのは好きで、区分求積法の積分範囲がよくわからなくていろんな場合を考えてまとめてみたりしてましたね。物理の問題解くのは好きじゃないけど公式導出は好きみたいな(笑)微積、確率、整数、ベクトルなんかは得意じゃなくて、複素平面はだけは結構好きでした。(受験に頻出分野が苦手だったなぁと)複素平面のどういうところが好きだったかというと、結構自由に見方を変えられるところや回転拡大縮小なんかが簡単にできるところですね。例えば複素数「z」と一文字で表せたり「x+yi」…
8/10メモ
・間違えて書いちゃうのが怖い。数値計算で実証できたほうがいいなあ。計算も充実させたい。 ・Abel関数論もやる。円分をCMにもつ場合が気になるから。気になるまとまってる資料がネット上に見当たらないので、頑張るしかない。 ・アーベル積分の積分経路は如何なるか。 ・複素解析かなり好きかもしれない。 ・複素解析やるには絵が必要・・・ ・誤った理解を改めることができた。分岐切断線は、√zを決めとけば√f(z)もそれに従うようにするというようなものではない。まずはじめに分枝（ぶんし）と分岐点があって、それをいろいろいじりながら、１価にできるように工夫して分岐切断線がつくられる。どんな時も通用するうまいと…
8/8メモ
ゾロ目の日だ。 ・「基本群とラプラシアン」というpdfを見つけた。勝手に予測変換に出てきたんだが、おもしろそう。ゼータ関数と作用素がどうとかの話らしい。あのおもしろそうなセルバーグゼータが出てくる。 ・グラフの正則関数の話と、リーマン面が代数的整数の類似でどうのこうのの話を進めたいな。 ・基本群がとても簡単な群（自明群じゃない！！）になる位相空間ってあるのかな。絶対ガロア群が簡素な体を考えようとしたら無理だったから考えてみている。 ・wikipediaより：すべての群は、2 次元（もしくはより高次元の）連結なCW複体として実現することができる。上記で注意したように、自由群でさえ、1-次元のCW…
7/28(入試界隈のおもしろさ、３次のアーベル拡大の円分での決定)
・メモがメモとしての機能を果たしてきた。 ・ツイッターは高校までで理解できる結果ならおもしろいのがたくさん流れてきて考える題材になる。もっと大学数学も出てこいや。 ・自分がやるという手もある。代数的整数論とかのおもしろい話、たくさんあるんでそーゆーのをまとめられるといいな。最近は虚二次体の「アンビグ類」を知った。 ・だから教育が変わると激変するのだとわかる。高校で群論を教えられるようになれば、入試でもおもしろい群がたくさん出され、それに伴い受験勉強界隈でも群のおもしろい定理がいろいろ紹介されるようになる。参考書、youtube動画、ウェブサイトなんかで結晶群やらホモトピー群やらブレイド群、さら…
[HoTT]HoTTをこっそり学ぶ その10 さて、すでに終盤に突入している。2.4.1節に取り組もう。ホモトピー解釈からさらに進んで、Martin-Lf型理論をホモトピー理論の論理学としたいのである。 2.4. Higher algebraic structures ホモトピー解釈によって本質的に健全性と完全性が与えられたので、さらにホモトピー理論の言語としての論理システムをどのように表現すればよいのだろうか？ この観点からは内包的理論における位相空間としての型について考えみよう。型 の項は”位相空間”の点であり、等式型 は と を結ぶパスの集まりとして表現され、高次の等式はパスの間のホモト…
数学の大衆娯楽化構想メモ。
箇条書き。 ・世の中には、小さい頃から数で遊ぶのが大好きだったり、学生時代突如数学にどっぷりハマりだして数学者に、みたいな人がいる。数学は本当は、人を強烈に惹きつける魅力があるはず。それは素朴な、探検発見の興奮だと思う。 ・気付いた法則性やこうじゃないかという予測は、証明するのは難しいけれども、たくさんの具体例を計算して確かめることはできる。 ・数学は、厄介なところをうまく避ければ、大衆化出来ると思っている。 ・トポロジーなど好例。あれは直感的に語ることができる。ホモトピーとか被覆とか。（４次元に埋め込んだ３次元とかを考えなければ。）数学の人じゃない人が見たら、集合論で定義することや厳密に考え…
天邪鬼がオートマトンの導入をするとこうなる(自由生成された圏としてのオートマトン)
※このページはmathjaxの使い過ぎで表示が重くスマホでの閲覧に適しません。パソコンでも通信環境やスペックによっては数秒から数十秒放置してからスクロールを始めたほうがストレスがないかと思います。 どうも、Aaronです。 今回はとても天邪鬼にオートマトンの導入をしていこうと思います。 ※この記事において「小さい」という言葉は「クラスに対して定義された概念が実際には集合で与えられている。」という意味でのみ用います。有限や可算であることを「小さい」と表現することはありません。 ＊やや細かい集合論の知識を要求する箇所が一部ありますが、それ以外については若干の例外を除いてself-contained…
大学始まって二ヶ月くらいだけど。
相変わらずあまり読める文章ではないです。何やったっけ自分〜ってために書いています。 数学（やったこと） 大学の授業受けてフォローして演習解いて……ってやってたらいつの間にか時間経ってた気がする。 群論は全てを忘却していたので、類等式周りや有限アーベル群の構造定理（＊有限生成ではない！！！） の証明をボケーっと眺めてこんなのあったなぁくらいに思っていた。第n同型定理（n:1~3）とか第一（通称準同型定理）以外普段はあまり使わないしそれはそうなので忘れちゃうと思う。でも組成列周りでバシバシ使うんだよね……習熟します。 結構印象深かったのは、とある学科同期が「次回までに普遍性に慣れときます」っていっ…
