モンティホール

(サイエンス)

【もんてぃほーる】

Wikipedia：モンティホール問題（モンティホールジレンマ）
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

　モンティ・ホール問題は、モンティ・ホール(Monty Hall)がホストを勤めるアメリカのゲームショー「Let's make a deal」に由来する初歩的な確率の問題である。この問題が有名になったのは、1990年に "Parade magazine" の中の Marylin vos Savant の「Ask Marylin」という質問と回答のコラムでこの問題の解が議論された後、何人かの数学教授を含む多くの読者が彼女の解答は間違っていると投書したことに、主に負っている。
　その問題は次のようなものである：ショーの終わりに、プレイヤーは三つのドアを見せられる。ドアの一つの後ろにはプレイヤーが獲得できる景品があり、一方、他の二つのドアには羊（景品がなく、ハズレであることを意味している）が入っている。ショーのホストはそれぞれのドアの後ろに何があるか知っているのに対し、もちろんプレイヤーは知らない。プレイヤーが第一の選択をした後、ホストのモンティは他の二つのドアのうち一つをあけ、羊をみせる。そしてホストはプレイヤーに、初めの選択のままでよいか、もう一つの閉じているドアに変更するか、どちらかの選択権を提供する。プレイヤーは、選択を変更すべきだろうか？
この問題に対する模範的な回答は「イエス」である。なぜなら、プレイヤーがもう一つのドアへ変更した場合に景品を勝ち取る可能性は、プレイヤーがもともとの選択に忠実であった場合の2倍であるからだ。この理由は次のようになる。もともとの選択では、プレイヤーは選んだドアに景品がある可能性を 1/3 しか持っていない；この確率はモンティが羊のドアを開けたとしても変わらない。その結果、もしプレイヤーがもともとの選択に忠実ならば景品を勝ち取る可能性は 1/3 であり、従ってプレイヤーが変更した場合は 2/3 である。
　羊の入っているドアは本質的にはその後ろに何もないドアと同じであるので、一つのドアを開けてゲームから除外する代わりに二つのドアを一つにまとめることは等価とみなせる。つまり、このことはプレイヤーがもともとのドアの選択に忠実であるか、あるいは一つにまとめられた他の二つのドアの合計を選択するか、どちらかの選択を求められていることを意味している。明らかに、景品が他の二つのドアにある可能性は二倍高い。
　また、ドアが3個ではなく100個である場合を考えるとより直感的に分かりやすくなるだろう。プレイヤーが一つのドアを選んだのち、モンティは後ろにヤギのいる98個のドアを開ける。明らかに、モンティが開けなかったもう一つのドアに景品がある可能性が極めて高い（正確には 99/100）。

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