ユークリッドの互除法

だらだら前置き（急いでいる人は飛ばして下さい） 実を言うと私が現役だった頃と数学のカリキュラムが大幅に変わっていて、習っていない単元も多く（そのくせベクトルや数列がなくなった）、ユークリッドの互助法も知りませんでした。なので現在進行形で勉強しつつ、理解したことをまとめていきます。（需要あるのか？） 正直、今の数学教育ってテクニックの詰め込みばかりで、数学の一番の面白さ、分かる楽しさを感じられるのかな？と疑問に思ったりします。ここでは理解することを目的として解説してみます。（細かいミスがあっても目を瞑って下さい） ユークリッドの互助法 WikipediaのGIFアニメを一分間ほどご覧下さい。あれ…

現在進行中でアルゴリズムの学習をしていて、最大公約数を求めるプログラムを書く際に、 様々なコードの書き方を学んだので記事にしたいと思います。 下記の形で入力されます。 A B A Bの条件としてA < Bとしています。(条件分岐を付け加えれば良い話なのですが、、) 方法1：共通に割れる数を1から求める方法 この方法は2つの数を1から順に割っていき、割り切れた最大値を求めるプログラムになります。 下記、PHPでの実装例になります。 <?php [$a, $b] = explode(' ', trim(fgets(STDIN))); function gcd($a, $b) { $answer =…

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ご訪問ありがとうございます！解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！ 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 今回も誘導をつけているので難易度を下げています。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com 今回の問題の解説 ユークリッド互除法は余りが出る割り算を使って最大公約数を求める方法です。 普段であれば整数に対して使います。 ユークリッド互除法は多項式に対しても使うことができます。 余りに関しては、割る多項式より次数が小さくなりま…

No.5 Smallest multiple問題.Q. 2520 は, 1 から 10 のすべてで割り切れる最小の数です.では, 1 から 20 のすべてで割り切れる最小の数はいくつか. 要は 1 から 20 までの数の最小公倍数を求める問題です. 考え方とプログラム例(c++)1. 1から順に最小公倍数を求めていく2つの引数 () の最大公約数 を返す関数 を, ユークリッドの互除法を用いて再帰関数で定義します. 2つの数 の最小公倍数 は, 最大公約数を とすると,\begin{align*} L = \dfrac{a\times b}{G} \end{align*}で求まります.ちなみに…

概要 ユークリッドの互除法をC++で実装する。ユークリッドの互除法は数の大きい2数の最大公約数や、3数の最大公約数を求めるなどの場面で便利に使える。 なお、この記事でユークリッドの互除法自体の証明とかはやらないので注意。 動機・経緯 アルゴリズムの講義でユークリッドの互除法を思い出しておいてねと言われたので復習。以前ＡＢＣでそういった問題を解いた記憶があったのでプログラムを漁って持ってきた。 内容 ユークリッドの互除法の手法 片方の数を割った余りをもって割った数を割る。これを繰り返す。余りは試行するほどに小さくなっていくので必ずいつかは終わる。余りが0になったら終了。機械的に実行できるのでプロ…

秋山です。Python好きのエンジニアです。プログラミング問題、特に競技プログラミングで出題される問題の中には、適したアルゴリズムを知っていると比較的楽に答えを導き出せる場合があります。ただ、メジャーなものだけでもたくさんありますし、「どのように学べばいいかよく分からない…」という方もいるかもしれません。そこで今回は、アルゴリズムの中でも定番の、最大公約数を求める「ユークリッドの互除法」について説明します。実はユークリッドの互除法は記録に残っている最古（紀元前300年ごろ）のアルゴリズムと言われています。それが現代でも使われているんですよ。どのようなアルゴリズムなのか説明するだけでなく、Pyt…

Twitter(旧X)の一部などで絶え間なく掛け算の順序問題は取り上げられる。 しかしながら割り算の扱いは冷淡である。(ホットであるべきだと思わない) これについて、初等算数の思い出として長年引っかかっていたエピソードがあるが、ツイッターで書くには微妙に長いので書いみる。 私が小学１年生の頃に通っていた公文では、指導とは問題を渡すことだった。良く言えば習うより慣れろがモットーで、算数の時間で具体的に生徒がすることは、 1. 『小学校低学年向け』とくくられた計算ドリルを『こどもの自発性』に基づいて解く。 2. それを出入り口の横の長机に座った数人の採点官へ持っていく。 3. ついでに『自発的な質…

前回は，2つの正の数の積は，その正の最小公倍数と，最大公約数の積であること[定理1.5]と，が互いに素でがの倍数ならば，はの倍数であること[定理1.6]を証明しました． 今回は，実際に最小公倍数と最大公約数を求める方法についてです． 實際ニ，與ヘラレタル（正ノ）整數ノ最大公約數，又ハ最小公倍數ヲ求メル方法ハ周知デアルガ，コノ際，念ノ爲ニソノ理論的ノ根據ヲ叩イテオクノモ無用デハアルマイ． 最大公約数を求めるには，ユークリッドの互除法を用いるか，2つ以上の整数を素因数分解して指数部分の最小値を見ていくかすればよいです． 最大公約数の筆算（すだれ算）というのもあります．例えば，の最大公約数は次のよう…

AtCoder Beginner Contest 341 D - Only one of two AtCoder Beginner Contest 344 D - String Bags 最近のABCからD問題を解く AtCoder Beginner Contest 341 D - Only one of two リンク：D - Only one of two (atcoder.jp) 概要：正整数のうち一方のみで割り切れる正整数の小さいほうから番目を出力してね この問題では以下の3つの考え方を使用します。ひとつひとつはそれほど難しくない概念ですが組み合わさることで緑diffの問題になるのすき…

前回は，2つ以上有限個の，0でない整数の公倍数は最小公倍数の倍数であること[定理1.3]と，2つ以上有限個の，すべてが0ではない整数の公約数は，最大公約数の約数であること[定理1.4]を証明しました． それでは読んでいきましょう． 次ノ定理ハ二ツノ整數ニ關スルモノデアル． これまでは2つ以上でしたが，ちょうど2つに限定した話になるようです． [定理1.5] ノ最小公倍數ヲ，最大公約數ヲトスレバ， （但．トスル．） 有名な定理です．例えば，ユークリッドの互除法を用いて2つの数の最大公約数を求めることができるので，これを用いて最小公倍数を求めることができます． この定理も，素因数分解の一意性によら…

【JavaScript】 最大公約数を求める ユークリッドの互除法というのを勉強します。 Aを割られる数、Bを割る数とします。 A÷B ＝ C ... D ここで、Cは商、Dは余りです。 次にすることは、 前回、割る数であったBを、割られる数とし、 前回の余りであるDを割る数とします。すなわち、 B÷D ＝ E ... F では次にすることは？ さてコードです。 %%js function getGreatestCommonDivisionNumber(value1, value2){ let r; a = value1; b = value2; do{ r = a % b; a = b; b…

こんにちは。 今回は Project Euler の第1問から第10問まで Haskell で解いてみようと思います。 Project Euler は、時間制限なしの競技プログラミングのようなもので、過去に紹介しています。 taq.hatenadiary.jp そして、Haskell も最近始めました。 taq.hatenadiary.jp 実は割と気に入っていて、何かしたいなと思っていたところ Project Euler の存在を思い出しました。 Python で解いていって記事を書いているのですが、Haskell でも練習がてら解いてみます。 (ここ1年くらい更新が止まっていますが…) t…

2024年も大学入試のシーズンがやってきました。 今回は、東北大学の文系数学に挑戦します。 ※原則文系ユニークの問題のみ解きます。理系との共通問題については理系の記事を参照下さい。 2024年度 東北大理系数学 解いてみました。 - ちょぴん先生の数学部屋

安田亨チャンネル【ホクソム】で安田先生が＜【2024東大数学解答速報】理科総括～この問題は凄すぎる...～＞ で、今年の東大理系の入試問題を解説しています。 https://www.youtube.com/watch?v=6d-AoA9yOO8 安田亨さんは、受験数学指導の大御所。（英語で言えば、竹岡広信さんか関正夫さんでしょうか） その安田先生が、この動画で今年の東大数学は難しいと判定しています。 多くの予備校の解答速報や個人発信のSNSでは、「例年並み」、もしくは、「やや易化」の判定している中、安田先生は難化の判定。 とりわけ最後の６番に関しては「私は解けない」と断言。氏がそう公言すること…

Library CheckerのFactorizeという問題でfastestを取ったので、そのコードの解説です（速度ランキング）。 Factorizeは、までの整数が高々100個与えられ、それらを素因数分解せよ、という問題です。 概要 上位陣（13ms～15ms）の解法では、ECM（楕円曲線を用いた素因数分解法）が使われているようですが、よくわからないのでこれには手を出しません。 ECMを用いていない提出の中で最速の提出はhqztrue氏の16msであり、20%以上の差があります。 この提出では、ポラードのロー法という手軽に実装できるアルゴリズムが用いられていました。 これを効率化してみます。…

こんにちは、リユナです。 実は競プロ以外にも私は最近競技数学を始めました！日本のみんなと交流する前には全然存在すら知らなかったんですが、楽しそうで何回参戦し、今は堂々と青solverです！ 。。。実はRatedたった四回でこのレーティングで、すぐ入黄まではできそうですｗ それでは、後記始めます！ D(5分、FA) E(5分) A(1分、1ペナ) C(5分、1ペナ) B(10分) F(35分) 総評 D(5分、FA) まずは何か一つでもFAしようとしてDとEとFから読みました。Dが面白そうですぐ解き始めました。 典型的な場合の数の問題でした。6999までの数がちょうど1665個だったので、700…

「第3章 数学と人間の活動 ユークリッドの互除法」 出演：宮下結衣

こちらはPokémon Past Generation Advent Calendar 2023の51日目の記事となります。 第八世代以降、言語が一致していて尚且つNNを変更したことの無いポケモンならトレーナーIDが異なっていてもNN変更を行えるようになっています。 しかし、NN変更済みの個体のNNを変更したいとは思いませんか？ というわけで過去作のIDをSVと同じにし、過去作側でニックネームを変更してからSVに送ってもニックネームを変更できることを確かめてみましょう。（手段と目的が逆転している気がする） では、実際にNNを変更できるための条件はどうなっているのでしょうか？第六世代や第七世代と…