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位相空間
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位相空間

(サイエンス)
【いそうくうかん】

数学　位相空間 (topological space)

位相空間の定義：
集合Sが次の条件を充たす集合族をもつとき「位相空間」（topological space）とよぶ

  1. 空集合と、S自体がその集合族に属する
  2. 集合族に属する集合の交わりが集合族に属する
  3. 集合族に属する無限個の集合の和集合が集合族に属する
  1. \large \emptyset , S \in \mathcal{O}
  2. \large \text{if} O_1,O_2,...,O_k \in \mathcal{O} \text{then} \bigcap_{i=1}^{k} O_i \in \mathcal{O}
  3. \large \text{if} (O_{\lambda} | \lambda \in \Lambda ) , O_{\lambda} \in \mathcal{O} \text{then} \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_\lambda \in \mathcal{O}

この集合族に属する集合を「開集合」（open set）とよび，その補集合を「閉集合」（closed set）とよぶ．

物理　位相空間 (phase space)

物理で一般に「位相空間」と呼ばれるのは、数学でいう「相空間」のことである。位相空間は位置と運動量を座標の形で表したものである。

*リスト：リスト::数学関連

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yagibrary•2年前

【はじめよう位相空間】12.1 連結空間と連結集合3

はじめよう位相空間作者:大田 春外日本評論社Amazon はじめよう位相空間 [ 大田 春外 ]価格: 2420 円楽天で詳細を見る条件(12.1)をみたすの開集合が存在したとき、関係が成り立つから、はともにの閉集合でもある。この事実より、次の補題が導かれる。証明は問として読者に残そう。補題 12.2 位相空間に対して、次の3条件(1), (2), (3)は同値である。 は連結空間である 条件(12.1)をみたすの閉集合は存在しない の開集合であると同時に閉集合でもある集合でをみたすものは存在しない 問 1 補題 12.2 を証明せよ。例 12.3 例 10.6 の位相空間には条件(12.1)…

#位相#位相空間#トポロジー#連結性#数学

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8ブックマーク「集合と位相」の講義ノートPDF。位相空間論に入門するためのオンライン教科書 - 主に言語とシステム開発に関してlanguage-and-engineering.hatenablog.jp

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yagibrary•2年前

【はじめよう位相空間】12.1 連結空間と連結集合2

はじめよう位相空間作者:大田 春外日本評論社Amazon はじめよう位相空間 [ 大田 春外 ]価格: 2420 円楽天で詳細を見るが2つの部分とに分けると、はの開集合であるがはの開集合ではない。のように、つながっている空間を無理矢理に2つに分割したときには、2つの部分がともに開集合になることはなさそうである（このことを次節で証明する）。他方、はもともと2つの部分に分かれている。このとき と表されるから、系10.19よりはともにの開集合である。すなわち、初めから2つに分かれている部分は両方ともその空間の開集合である。以上の観察から、連結であるとは2つの空でない開集合に分割されないことであると考…

#位相#位相空間#連結性#コンパクト性#数学
yagibrary•2年前

【はじめよう位相空間】12.1 連結空間と連結集合1

はじめよう位相空間作者:大田 春外日本評論社Amazon はじめよう位相空間 [ 大田 春外 ]価格: 2420 円楽天で詳細を見る 12 連結性と中間値の定理 連結性はコンパクト性と並んでもっとも基本的な位相的性質である。連結性について考察した後、第1章で述べた中間値の定理を一般的な形で証明する。 12.1 連結空間と連結集合 位相空間が連結であるとは簡単に言えば、その空間が2つ以上の部分に分かれていないことである。しかし連結性の定義としては「2つ以上の部分に分かれていない」という表現は十分ではない。なぜなら、数直線は連結であると考えられるが、交わらない2つの部分とに分けることができるからで…

#位相#位相空間#トポロジー#連結性#数学
yagibrary•2年前

【はじめよう位相空間】3.2 復習：写像1

はじめよう位相空間作者:大田 春外日本評論社Amazonはじめよう位相空間 [ 大田 春外 ]価格: 2420 円楽天で詳細を見る 3.2 復習：写像 写像はトポロジーを考える際の（また、どんな数学を考える際にも）もっとも基本的な概念である。そこで、写像の定義と基本的な事項を復習しておこう。それらを既習の読者は、本節を省略して次節へ進むことができる。定義3.5 2つの集合が与えられ、のどの要素にも、それぞれ、の要素が1つずつ対応しているとき、この対応をからへの写像という。集合から集合への写像が与えられたとき、に対応するの要素をによる像とよびで表す。また、この写像を と表す。ここで、集合をの定義…

#位相#位相空間#トポロジー#写像#数学
yagibrary•2年前

【具体例から学ぶ多様体】4.1 同相写像

具体例から学ぶ 多様体作者:藤岡 敦裳華房Amazon具体例から学ぶ 多様体 [ 藤岡 敦 ]価格: 3300 円楽天で詳細を見る 4 楕円 第4章では、まず、同相写像という概念を通して、単位円と楕円は位相的観点からは同じものであることを示し、一方、等長写像という概念を通して、これらは一般に等長的ではないことを述べる*1。また、数学のさまざまな場面で現れる基本的な代数的概念の1つである群について簡単に述べ、特に、ユークリッド空間のアファイン変換群、等長変換群について詳しく調べる*2。 4.1 同相写像 を固定しておき、単位円から平面への連続写像を により定める。とおくと、 であり、は楕円を表す…

#数学#同相写像#同相#位相幾何学#位相空間
機械学習基礎理論独習•2年前

位相空間③～位相空間における内点集合の諸性質～

概要 補題1の証明、補題2の証明、補題3の証明 補題1 を位相空間、 とする。 (i) (ii) 証明 (i) とおく。 とすると、 で、. ゆえに . よって、 は英語で That is (すなわち)の意。 と書く場合もある。(ii) (i) より、 ( (i)で の代わりに を代入すると導ける) 一方、 で だから、 は単に の部分集合(開集合)であり、 は に含まれる開集合の全ての和集合、すなわち に含まれる最大の開集合だから、 もう少し噛み砕いて説明すると、 で ともに の部分集合で開集合なんだけど、 ”内点集合”の定義より、 は に含まれる最大の開集合だから、 以上より、 補題2 を…

#位相空間
機械学習基礎理論独習•2年前

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#位相空間