位相空間

大学数学で幾何学分野の一つであるトポロジー（位相幾何学）の解説講座を始めていきく。意欲ある高校生～学部生あるいは数学好きの社会人の方を対象としてやさしく解説する。やさしいとはいえ、数学的な議論を誤魔化してしまうことはしない。数学的な厳密性を保ちながら平易な言葉でわかりやすく解説していくことを第一の目標としているためだ。 動画による解説も行っている。： youtu.be 【目次】 トポロジーとはなにか 位相不変量とは トポロジーの舞台が位相空間であるのはなぜか まとめ トポロジーとはなにか トポロジーは学部数学の幾何学分野を担う２本柱のうちの一つである。（もう一本は微分幾何学） おもに、図形の形…

定義 8.13 つの距離空間 に対して、包含関係 が成り立ち、さらに、条件が満たされるとき、 は の部分距離空間または単に部分空間であるという。逆に、距離空間 が与えられたとき、任意の部分集合 に対して、距離関数 の への制限は 上の距離関数である。このとき、距離空間 は の部分距離空間である。定義 8.15 距離空間 が与えられたとき、直積集合 の 点 に対して、と定義する。このとき、関数 は 上の距離関数であることが証明できる。距離空間 を の直積距離空間といい、で表す。また、 を から導かれる直積距離関数という。 は 個の の直積距離空間です。 参考文献 はじめての集合と位相 p107-…

定義 8.6 集合 と関数 が与えられ、任意の に対して、次の つのことが成り立つとする。 さらに、 (三角不等式) このとき、 を 上の距離関数という。ユークリッドの距離関数 は 上の距離関数です。(定理 8.5)定義 8.7 距離関数 が つ定められた集合 を距離空間とよび、 で表す。距離関数 を明する必要がない場合は、 を単に と略記する。距離空間 において、 の要素を の点とよび、点 に対し、 を 間の距離という。ユークリッド空間 は距離空間です。 参考文献 はじめての集合と位相 p104-p106

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どうも，mmです．また今週のやったことを報告していきます．今週は，主に，集合位相，線形代数，あとはAtCoderを少し進めました． ・集合位相 内田本をやっています．次週からは，第３章の「整列集合と選択公理」に入っていきますが，第２章の問題なども難しめのやつが残っているので，そちらもやっていきます．また，集合位相に関しては，数学のよくできる友人から紹介してもらった『位相空間 例と演習』もそろそろ手をつけていこうかなと思っています． ・線形代数 まだやっているのかと思われそうですが，大事なことなので何遍でも復習していきます．特に，線形代数入門の演習問題でいくら考えてもわからなかった問題がいくつか…

統計学を真剣に学ぶ人のために、個人的にまとめているノートを公開する。 底本として新装改訂版 現代数理統計学作者:彰通, 竹村学術図書出版社Amazonを用いる。 前回 8. 統計的仮説検定 8.3 良い検定手法の定義：一様最強力検定・不偏検定・尤度比検定 8.3.2 単調尤度比と不偏検定 8.3.3 不偏検定 参考文献 前回 power-of-awareness.com 8. 統計的仮説検定 8.3 良い検定手法の定義：一様最強力検定・不偏検定・尤度比検定 「“良い”検定」とは何か。伝統的な検定手法に立脚すれば、前述のとおり第1種の過誤を犯す確率を有意水準に抑えたうえで対立仮説のもとでの検出力…

今回は今更ながら自己紹介をします。ただ自己紹介をするだけではつまらないので「代数トポロジーの学習をするために学んだもの」を軸に紹介したいと思います。読んだ本も載せていきます。ただ、あくまでも私が学んだものですので、一例として捉えていただければうれしいです。 下積み時代(大学1年生～大学2年生) ➀微分積分学 ②線型代数学 ③集合と位相 ④群論 ⑤多様体論 ⑦その他もろもろ 初心者時代(大学3年生～4年生) ⑧代数的トポロジー(特異ホモロジーなど) ⑨ホモロジー代数 ⑩圏論 ⑪微分幾何学、モース理論 ⑫その他いろいろ 大学院生(修士)時代 ⑬有理ホモトピー(代数的トポロジー) ⑭LSカテゴリー(…

window.MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']], //行内の数式 displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ], //独立行の数式 processEscapes: true //数式の外でもドルマークが使えるように } }; mermaid.initialize({startOnLoad: true}); 前提知識 概要 文献 Gouvéa『p-adic Numbers』 雪江『整数論1』 Serre『A Course in Arithmetic』 前提知識 grap…

統計学を真剣に学ぶ人のために、個人的にまとめているノートを公開する。 底本として新装改訂版 現代数理統計学作者:彰通, 竹村学術図書出版社Amazonを用いる。 前回 power-of-awareness.com 前回 8. 統計的仮説検定 8.1 統計的決定論に基づく検定の定式化 8.2 検定統計量に基づく検定方式の定式化 ここまでのまとめ 次回 参考文献 8. 統計的仮説検定 ここまでデータが与えられたときにそのデータが従うと思われる確率的な規則性を推測する方法を議論してきた。他方で「データに基づき何らかの科学的根拠を踏まえつつ合理的に判定を下したい」状況が存在する。これを数学的に定式化す…

0.999…を数列 0.9 0.99 0.999 … の極限と考えれば 1=0.999… が証明できるという話があります。 定理： 1=0.999… 数列の極限とみなす証明： 0.999…を数列と見なす。 0.999…は1に近づくので 0.999…=1 □ この証明には、1つ気になる点があります。それは、 0.999…は1に近づく のところ。本当に 0.999…は1に近づきますか？ この疑問のポイントは、 2つの数が近い の意味です。普通に考えれば、0.999…は1に近づく、は正しそうです。しかし、「近い」の意味が通常と違う場合はどうでしょう？ 近いとか遠いという概念は、数学では、位相空間論で…

前提知識 概要 文献 Jarvis『Algebraic Number Theory』 Lang 『Algebraic Number Theory』 Neukirch『Algebraic Number Theory』 関連記事 mermaid.initialize({startOnLoad: true}); window.MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']], //行内の数式 displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ], //独立行の数式 processEscapes: …

統計学を真剣に学ぶ人のために、個人的にまとめているノートを公開する。 底本として新装改訂版 現代数理統計学作者:彰通, 竹村学術図書出版社Amazonを用いる。 前回 7. 統計的推測論 7.3 区間推定論 7.3.1 区間推定における“良さ”の概念 7.3.2 最尤推定量に基づく信頼区間 7.3.3 具体的な区間推定の例 7.3.4 信頼区間の解釈 次回 参考文献 前回 power-of-awareness.com 7. 統計的推測論 データ、すなわち考えているもののごく一部から、全体の特徴を知りたいということはままある。より統計学的な言い方で表現すれば標本から母集団の特定値を推測したいこと…

mermaid.initialize({startOnLoad: true}); window.MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']], //行内の数式 displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ], //独立行の数式 processEscapes: true //数式の外でもドルマークが使えるように } }; \[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcomman…

前提知識 概要 位相空間とは 位相幾何において 解析学において 代数学において 集合論についての補足 文献 内田『集合と位相』 Munkres『Topology』 Waldmann『Topology』 次に学べる分野 mermaid.initialize({startOnLoad: true}); 前提知識 graph TB S(START) --> B(微積) --> C(位相空間論) 微積分の知識は必要です．微積を知らなくても証明を追って正しさを検証することはできますが，主張の意味を理解することはできません．位相空間論で展開される理論の動機の一部に，微積の一般化があるからです． 概要 位相…