入試問題解答

$a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n$ は $n=1$ のときも成り立つ． この式より $na_n=S_n+n(n-1)2^n$． また $(n+1)a_n=S_{n+1}+(n+1)n\cdot 2^{n+1}$ となるので，これらを辺々ひくと \begin{align} (n+1)a_{n+1}-na_n & =a_{n+1}+\left\{2n(n+1)-n(n-1)\right\}2^n \\ n(a_{n+1}-a_n) & = n(n+3)2^n\end{align}

(1) 理系 $\fbox{6}$ (1) と同じ． (2) 正五角形の一辺の長さを $x$ とし，$\dfrac{\pi}{5}=\theta$ とする． 余弦定理より $x^2=1+1-2\cos 2\theta=2(1-\cos 2\theta)$． また $5\theta=\pi$ より $2\theta=\pi-3\theta$．

理系の $\fbox{2}$ と同じ．

問1 理系 $\fbox{3}$ (1) と同じ． 問2 $\sqrt[3]{3}=x$ とおくと，$2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5=2x^2+x+5$．また $x^3=3$． $4x^3=(2x^2+x+5)(2x-1)-9x-5$ より $(2x^2+x+5)(2x-1)=4x^3+9x-5=9x+7$． さらに， $729x^3=(9x+7)(81x^2-63x+49)-343$ より $(9x+7)(81x^2-63x+49)=729x^3+343=2187+343=2530$．

$t=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2*1~~(-1\le x \le 1)$ とおく．$\dfrac{dt}{dx}=e^{-x^2}\cdot(-2x)+\dfrac{1}{2}x=-\dfrac{1}{2}x\,(4\,e^{-x^2}-1).$ $g(x)=4\,e^{-x^2}-1~~(-1\le x \le 1)$ とおくと $g'(x)=4\,e^{-x^2}\cdot(-2x)$ であるから，下の増減表より $-1\le x \le 1$ のとき $g(x)>0$．

(1) 1 回でも 5 の目が出れば $Y$ は 5 で割り切れるので，$Y$ が 5 で割り切れない確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$． よって，$Y$ が 5 で割り切れる確率は $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$．

条件より $\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}$，$\overrightarrow{\rm OQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}$． また，R は直線 OD 上にあるので $\overrightarrow{\rm OR}=k\,\overrightarrow{\rm OD}~(k\,は定数)$ とおける．