古典力学

質量、半径の一様な球がある。重心を通る軸まわりの慣性モーメントを求める。 (1) 番目の体積要素が極座標系の点Pにあるとする。中心軸からの距離を求めよ。 (2) 座標Pから、軸方向に、軸方向に、軸方向に動かした点からなる直方体の体積を求めよ。ここで、は十分小さいものとする。 (3) 球内を積分することにより、中心軸まわりの慣性モーメントを求めよ。 (1) 以下の図のように、球の中心を原点におき、中心軸を軸とします。 今回の場合、天頂角を用いたとき、軸とPの距離はが成り立ちます。 (2) 座標Pから軸方向に、軸方向に、軸方向に動かした点をQとすると、PからQまでに点が動きうる領域は以下の図で表さ…

質量、半径、長さの一様な円柱がある。円柱の中心線まわりの慣性モーメントを求める。 (1) 番目の体積要素が円柱座標系の点Pにあるとする。中心軸からの距離を求めよ。 (2) 座標Pから、軸方向に、軸方向に、軸方向に動かした点からなる直方体の体積を求めよ。ここで、は十分小さいものとする。 (3) 円柱内を積分することにより、中心軸まわりの慣性モーメントを求めよ。 (1) 以下の図のように、底面の円の中心を原点におき、中心線を軸とします。 円柱座標系とは、平面の座標についてのみ極座標に変換し、[tez: z]軸方向についてはデカルト座標のまま算出する座標系です。問題設定を考慮すると、図のように置くの…

今回の演習の最終ステップとして、与えられた剛体の慣性モーメントを求められるようにします。慣性モーメントとは、回転体の回転のしにくさ（もう少し細かく言うと、トルクが加わったときの角速度の変化のしにくさ）を表したものです。 回転軸を軸として、剛体の固定軸周りの慣性モーメントは、基本的には以下のように表されます。 $$ I_z = \sum_k m_k\boldsymbol{r}_k^2 \tag{1} $$ 【6.1】で扱った重心の表式と同じように、一般的な連続体として扱う式へ変換します。3次元（2次元も同様）剛体を多数の微小な体積要素に分割したときの番目の体積要素の位置を、その体積をと置きます。…

半球の重心Gの位置を求めよ。 重心シリーズもこれで最後です。対称性を考えてあげれば、煩雑な積分計算を避けることができます。今回は半球なので、中心を原点とする半径の球を置き、の範囲に薄板があると考えることで、重心が軸上にくるようにします。 求める重心としますが、ここでも半円のときと同様に極座標を使って重心を求めたいと思います。【3.6】で球の体積を求める際、動径がから、天頂角がから、方位角がからまでの微小部分の体積が、直方体に近似されてで表されることを取り扱いました。 さらに、の範囲において、で変換ができます。従って重積分（半球なので）を使って、 $$ \begin{eqnarray} z_\t…

底面の半径、高さの円錐の重心Gの位置を求めよ。 前回に引き続き重心を求めます。今回は立体なので軸についても考える必要があります。ですが今回も対称性を利用し、底面の円の中心を原点に、円錐の頂点が軸上にくるように円錐を置くことで、重心が軸上にくるようにします*1。 求める重心とします。の範囲において、で円錐を軸に垂直に切ったときの断面の円の半径は、三角形の相似の関係からを満たします。すなわちです。 断面積はであり、この円錐の体積は、断面積をからの範囲まで積分した値になります。従って、 $$ \begin{eqnarray} z_\text{G} &=& \frac{\int_0^{h} \rho …

最終章では、質点とは異なり、大きさを持つ剛体の運動について扱っていきます。その導入として、剛体（特に物質が連続的に分布する連続体）の重心を求める手法に慣れていきましょう。 剛体の重心は、基本的には以下のように表されます。 $$ \boldsymbol{r}_\text{G} = \frac{\sum_k m_k\boldsymbol{r}_k}{\sum_k m_k} \tag{1}$$ この式は剛体を質点として扱う場合の式ですので、より一般的な連続体として扱う式へ変換します。3次元（2次元も同様）剛体を多数の微小な体積要素に分割したときの番目の体積要素の位置を、その体積をと置きます。すると、…

質点を糸につけた図のような系がある。糸はO点で水平面にあけた穴に通されていてQ点で固定され、質点は水平面に束縛され摩擦なしで円運動している。 (1) 水平面上の糸の長さOPがで質点の速さがであるとき、糸の張力はいくらか。 (2) O点を中心とした質点の角運動量を求めよ。 (3) Q点から糸をはずしてゆっくり手でたぐり水平面上の糸の長さOPをにしたところ質点の速さがになった。を求めよ。 (4) 質点の運動エネルギーの変化をで表せ。 (5) 手がした仕事を計算し、(4)との関連について述べよ。 (1) 高校でも学習した円運動の運動方程式を立てれば求まります。 張力は、直線運動しようとする質点を常に…