$$ \newcommand {\braced} [1] {\left \lbrace #1 \right \rbrace} \newcommand {\bracked} [1] {\left \lbrack #1 \right \rbrack} $$ 指数型母関数といえば、添字のシフトが微分になったり、二項係数で重み付けられたコンボリューションが積になったりなどの性質が知られていますね。定義は知っているけれども使い所がワカラナイ! そもそもベル数の指数型母関数が exp 二重になっていてなんだかキモチワルイ! そんなあなたのために本日お授けしたいのがこちら、指数型母関数の exp です。 こ…
02/19(月) 午後2時半起床。購買に行ってパン類とラノベを買ってきた。 午後3時半からインターン先定例会に出席。用事で欠席・寝坊・休日とここ3週間進捗報告を行っていないようだ。まあ先々週までは報告するような進捗もなかった。先週は少し稼働したので、今日はそれについてと、博士課程合格を報告した。今週から頑張れるかというとそうでもなく、木曜日に修論修正・再提出の締め切りがある。 勉強会は母関数を使った数え上げの話で、特に指数型母関数を使ったり、簡単な関数との間の等式から式変形したりするテクニックを扱っていた。前者はcombinationから自然に見出せると思っていて、それで解けたこともあるが、後…
競プロにもありそうな教育的な問題だと思いました。 問題 問題リンク の並べ替え について、 となる の個数を とする。すべての並べ替え について を足し合わせた値を求めよ。 解答 を、 であるような の順列 の個数とします。 のときは撹乱順列の個数で、包除原理から とわかります(母関数による導出もあります:指数型母関数入門 – 37zigenのHP)。 一般の に対しては、一致する箇所 個を選んだ後、残り 個の場所で撹乱順列を作ると考えて、 となります。 答えは (で としたもの)です。 母関数を使って考察します。まずは撹乱順列の個数 の母関数を考えましょう。 であり、撹乱順列の個数はその累積…
atcoder.jp TTPC2023、かなり面白い問題が多い(と思った)ので、コンテスト終了後も結構粘って解くなどしていました(もはやコンテスト5時間とか何も考えずに…… ほぼProject Euler) 一部問題は解説・解法を見てしまいましたが、基本的に解説を見ずに解いています ネタバレ・解法バレを多分に含むので解きたい人は読まないでください submissions: atcoder.jp A - Numerous Elimination コンテスト中に解いた 頭が回ってなくてOEISで解いたそうです B - Almost Large コンテスト中に解けず、解説を読んだ 完全に頭が回ってな…
第6回では, 一般化された包除原理について扱います. 包除原理は「条件を 個以上満たすものの個数」を数え上げるものです. これを一般化すると, 「条件を 個以上満たす」「条件をちょうど 個満たす」や「条件を 個満たすものは が答えに足される」などもふつうの包除原理と同じノリで解くことができます. この一般化は, 「二項変換」と関連があるのでそれについても述べます.
Ex - Constrained Tree Degree メモ プリューファー列について調べた するとSi-1をN回組み合わせてN-2を作る問題になり、 出現回数について重複を除くようにすると 指数型母関数で解ける