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楕円曲線
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楕円曲線

(サイエンス)
【だえんきょくせん】

多項式y^{2}=x^{3}+ax+bの解集合。画像は楕円曲線y^{2}=x(x-1)(x-2)で、surfによる。

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ES 地面の目印　-数学編‐•2ヶ月前

メモ36　楕円曲線 y^2=x^3+a^2*x^2-b^2*x の有理解について

(10/27追記)いつも記事を読んで下さるNさんから記事の楕円曲線Eの有理点について、記事にあるもの以外に も解であり、これは記事にある有理点とは独立のようだ、というご指摘をいただきました。 確かにこれも有理点であり、s=2とした場合の 上の楕円曲線のrankと生成元をsagemathにより求めると、 と は独立であることがわかりました。したがって、楕円曲線 のrankは2以上となります。 1. はじめに 以下の 上の楕円曲線 の有理解を見つけるという問題に出会った。 変形すると となるので は、楕円曲線 の有理解である。 で に有理数を代入すると、 上の楕円曲線が得られる。この楕円曲線の有理…

#楕円曲線#有理点#specialization

関連ブログ

京音メンバーの日記•3ヶ月前

面積が5かつすべての辺が有理数となる直角三角形の見つけ方

こんにちは。ヒトデマンです。楕円曲線論のさわりに書かれてた話が面白かったのでブログに書いてみました。テキストは https://people.cs.nctu.edu.tw/~rjchen/ECC2012S/Elliptic%20Curves%20Number%20Theory%20And%20Cryptography%202n.pdf にあるので興味ある人はぜひ読んでみてください。俺はまだ2章までしか読めてない。 突然ですが問題です。面積がになるようなすべての辺が有理数となる直角三角形は存在するでしょうか。 これは簡単ですね。辺の長さがとなるような直角三角形が存在することは、理系で大学受験をし…

#数学#整数論#楕円曲線
ES 地面の目印　-数学編‐•10ヶ月前

x^5+y^5=z^5+w^5 の解を求めて（その２）

第26回日曜数学会（2023.2.11）で発表する（した）資料です。ご関心のある方はご覧いただけると嬉しいです。 drive.google.com

#日曜数学会#一般化タクシー数#楕円曲線
ES 地面の目印　-数学編‐•1年前

x^5+y^5=z^5+w^5 の解を求めて - 第25回日曜数学会発表資料 -

第25回日曜数学会(2022.10.15)で発表する（した）資料です。ご関心のある方はご覧いただけると嬉しいです。

#一般化タクシー数#楕円曲線#日曜数学会
ES 地面の目印　-数学編‐•1年前

メモ31　有限体上の楕円曲線に関する練習問題（その3）

1．はじめに Silverman Tate のRational Points on Elliptic Curves（以下,[Sil]と記す）の第4章の練習問題を（未解答を含め）解いてみた結果を記したメモの（その3）です。その2で問題4.8と4.10に言及したので今回はその解答の試みをメモしました。 2. 問題 --------------------------------------------------------------------------------- 【問題4.8】 を素数、 とする。このとき、以下を示せ。(a) は 個の解 を有する。(b) が(a)の解であれば、 は楕円…

#楕円曲線#有限体#有理点
シン・ぱいおつ日記•1年前

平方数からなる長さ 4 の等差数列の話

こんにちは. ぱいです. 先日, むぐむぐ勉強会*1にて全 3 回にわたりセミナー「素数が無限個存在することのいろいろな証明を味わおう！」を開きました. 詳細は以下のツイートをご参照ください. セミナー「素数が無限個存在することのいろいろな証明を味わおう！」のスライドを公開します🌱計 19 種類の証明を紹介しました。素数や数学が好きなすべての人たちに届きますように✨️(第 1 回)https://t.co/lfEZTMhlhZ(第 2 回)https://t.co/yRFbuZcbLd(第 3 回)https://t.co/VFJygjis4X pic.twitter.com/HqAUZpDJ…

#数学#整数論#数列#等差数列#平方数#楕円曲線
ES 地面の目印　-数学編‐•1年前

メモ28　楕円曲線の等分点の作る体と虚数乗法について学び続ける

1. はじめに メモ26に書いたように、楕円曲線の等分点の作る体や虚数乗法について学ぶためSilverman・Tateの”Rational Points on Elliptic Curves”(以下[Sil]とする）の第6章を読み始め、ざっと読んだ。でもどうもすっきり頭に入ってこない。そこで章末の問題をやってみて理解（したとの誤解?）の定着を図ることを試みた。 その中の問題の一つ（問題Aとする）が3日かかっても解決の道筋がまったく見えない。ペンディングにして別の問題（問題Bとする)を行うと、問題Bの解答と問題Aの主張が両立しないことが分かった。そこでネット検索をすると、[Sil] の正誤表を見…

#楕円曲線#等分点#虚数乗法#Silverman#有理点
ES 地面の目印　-数学編‐•1年前

メモ27　第24回日曜数学会での発表の補足

1．はじめに 2022年6月19日（日）の第24回日曜数学会で、2つの自然数の3乗の和として2通りに表される数（タクシー2）もn通りに表せる数(タクシーn)も有理数の3乗の違いしかないことを発表したが、重要なことを明確に言わなかったような気がするのでここにメモしておく。最初に復習から。 ２．最初に少し復習 定義：タクシーn に対し、同値関係～を で定める。 定義：有理数から0を除いた集合 の元 に対し、同値関係 を で定め、 と表す。 命題 をタクシーnの集合とするとき、 の～による商集合と 区間(0,1)のRによる商集合の間に全単射 が存在する。 は、 とするとき で定める。[ ]は同値類を…

#タクシー数#楕円曲線#タクシー13
ES 地面の目印　-数学編‐•1年前

第24回日曜数学会の発表資料

第24回日曜数学会(2022.6.19)で発表する（した）資料です。ご関心のある方はご覧いただけると嬉しいです。

#楕円曲線#日曜数学会#タクシー数
ES 地面の目印　-数学編‐•2年前

メモ26　楕円曲線の等分点の作る体について学び始める

1. はじめに Q上の楕円曲線の等分点の作る体や関連して虚数乗法の話が面白そうにみえたので、Silverman・Tateの”Rational Points on Elliptic Curves”(以下[Sil]とする）の第6章を読み始める。その後、Hasse-Weil ゼータ関数でも具体的に計算してみようかなという、大雑把な構想を描く。 第6章を読み始めたのはよいが、具体的な計算がどうもうまくいかない。P191にあった楕円曲線 の3等分点の作る体のところでつまずいてしまった。2日かけてようやく解決したので、備忘録としてメモに残しておくことにした。これでは先が思いやられる。 2. 問題 Cの3等…

#楕円曲線#等分点
Develop with pleasure!•2日前

IPAを利用した多項式コミットメントスキーム

Inner Product Argument（IPA）は、内積の関係を証明するプリミティブで、いくつかの証明システムに組み込まれて使用されている。IPAの解説については、GBEC動画 or 過去記事参照↓ goblockchain.network techmedia-think.hatenablog.com IPAは、多項式コミットメントスキームとしても機能するため、今回はそのプロトコルについて見ていく↓ blog.lambdaclass.com IPAベースの多項式コミットメント ここでは、n次の任意の多項式を想定する。 この多項式をx = zで評価した場合、つまりp(z)は、との内積値p(…

ユリイカのブログ•6日前

おすすめ本　2冊目　『博士の愛した数式』小川洋子

もし記憶が80分しか保てなかったら、私たちにどんなことが起こるでしょう。昔の記憶は残っているのですが、80分以前の最近の記憶は、一切残らないのです。例えば昨日会った人の記憶すら無いのですから、今日その人と会っても「初対面の人」としか思えません。世界のあらゆるものが初めて見るもの、見慣れないものになるでしょう。自分自身すら昨日の自分はなく、現在の自分しかいなくなるのです。そんな世界で生きるのはどれほど寂しく、心細いでしょう。 新潮文庫 この本には交通事故でそんな障害が残ってしまった、文字通り孤独な老数学者が登場します。17年前の事故のせいで「記憶の蓄積」は終わり、それ以降1時間20分しか記憶が持…

医療～數論-未解決問題を証明!蓑輪博之•7日前

ミレニアム懸賞問題⑦：バーチ・ㇲウィンナーㇳン＝ダイアー予想（未完成）：蓑輪博之

Bing Image Creatorによって作成：蓑輪博之 はじめに バーチ・ㇲウィンナーㇳン＝ダイアー予想の研究 モジュラー性定理 テイㇳ・ㇱャファレヴィッチ群 パリティ予想 はじめに バーチ・ㇲウィンナートン＝ダイアー予想とは、數学の分野で未解決の難問の一っである。楕円曲線という特殊な曲線に関する予想で、以下のような内容を主張している。 楕円曲線上には、x座標とy座標がどちらも有理數になる点がある。これらを有理点と呼ぶ。 有理点の集合は、無限遠点という特別な点を加えると、アーベル群という代數的な構造を持つ。 アーベル群のランクという値は、有理点の「多さ」を表す指標である。ランクが0なら有理…

医療～數論-未解決問題を証明!蓑輪博之•7日前

ミレニアム懸賞問題⑤：ホッジ予想（未完成）：蓑輪博之

Bing Image Creatorによって作成：蓑輪博之 はじめに ホッジ予想の概要 ホッジ予想の証明の概要 K-理論 K-理論及びホッジ予想の関係 L-理論 モチーフ ヴェイユコホモロジー ミックㇲド・ホッジ理論及びパーㇱャル・コンパクティフィケーㇱョン 参考記事： はじめに ホッジ予想とは、複素多様躯という特殊な図形に関する數学的な主張である。複素多様躯は、複素數を座標として持つ多次元の空間であり、その形や穴の數などを表すコホモロジーという概念がある。 コホモロジーには、さまざまな種類があるが、その中でもド・ラームコホモロジーというものがある。ド・ラームコホモロジーは、微分形式という微分…

the　Aki’s blog•10日前

情報セキュリティはどうすれば守れるのか？現代社会の最重要課題に挑む

こんにちは。アキアキです。今日はLINEヤフーの情報漏洩のニュースが、ありました。現代は、情報化社会なので、情報漏洩は、怖いですね。今回は、現代の情報化社会における情報の防御と保護について、流出の危険性と対応のポイントを紹介します。 情報化社会とは、さまざまな価値のある情報のやりとりを中心として発展していく社会のことです。スマートフォンやパソコンを使って買い物や仕事、娯楽を楽しめる今の世の中は、まさに情報化社会の真っただ中であると言えるでしょう。しかし、情報化社会には様々な課題やリスクもあります。個人情報や機密情報などを扱っている企業や個人は、それらを安全に保存することが義務となっています。 …