楕円曲線

1．はじめに 2022年6月19日（日）の第24回日曜数学会で、2つの自然数の3乗の和として2通りに表される数（タクシー2）もn通りに表せる数(タクシーn)も有理数の3乗の違いしかないことを発表したが、重要なことを明確に言わなかったような気がするのでここにメモしておく。最初に復習から。 ２．最初に少し復習 定義：タクシーn に対し、同値関係～を で定める。 定義：有理数から0を除いた集合 の元 に対し、同値関係 を で定め、 と表す。 命題 をタクシーnの集合とするとき、 の～による商集合と 区間(0,1)のRによる商集合の間に全単射 が存在する。 は、 とするとき で定める。[ ]は同値類を…

第24回日曜数学会(2022.6.19)で発表する（した）資料です。ご関心のある方はご覧いただけると嬉しいです。

1. はじめに Q上の楕円曲線の等分点の作る体や関連して虚数乗法の話が面白そうにみえたので、Silverman・Tateの”Rational Points on Elliptic Curves”(以下[Sil]とする）の第6章を読み始める。その後、Hasse-Weil ゼータ関数でも具体的に計算してみようかなという、大雑把な構想を描く。 第6章を読み始めたのはよいが、具体的な計算がどうもうまくいかない。P191にあった楕円曲線 の3等分点の作る体のところでつまずいてしまった。2日かけてようやく解決したので、備忘録としてメモに残しておくことにした。これでは先が思いやられる。 2. 問題 Cの3等…

1. はじめに （その3）の最後に「既存のタクシーnからランクの大きな楕円曲線 が得られるのではないだろうか。」と書いたが、いくつか試してみたので、それをメモとして残して、このタイトルでのメモは終わりにしようと思う。 （その2）の「１．はじめに」 に書いたとおり、n番目のタクシー数Ta(n)は、以下のとおり。 Ta(1)=2 Ta(2)=1729 Ta(3)=87539319 Ta(4)=6963472309248 Ta(5)=48988659276962496 Ta(6)=24153319581254312065344 ウィキペディアでは、Ta(7)以降は、上限が分かっているとして、以下があ…

本メモ21は、メモ20の続きであるので、メモ20からご覧いただけば幸いです。 4．非特異平面3次曲線とそのWeierstrass標準形の間の双有理変換が準同型であることの確認 ここでは、メモ19,20で記した双有理変換 φ が準同型であることを２つの例でみてみる。 対象とする3次曲線とWeiestrass標準形は、以下の２つの曲線 E と W であった。 （k:有理数≠0,±1） (1) ここで、 (x,y)=(1,0) は明らかにEの有理点である。 メモ20より、Wの単位元(0:1:0)は、双有理変換 φ により(1,0)に写されるので、(1,0)をEの単位元 とする。 ここでc, d, d…

1．はじめに メモ19で以下の非特異平面3次曲線からWeierstrass標準形の楕円曲線への双有理変換 について記した。ここでは、非特異平面3次曲線を E、Weierstrass標準形の楕円曲線を W 、双有理変換：W→E を φ と記そう。 Eの加法構造は、Wの加法構造から φ によって定めれば良いだろうと考えた。つまり、Eの元 U,Vに対して、 とするのである。このようにEの加法を定めた時、 は加法を保存するのであろうか。つまり準同型になるのであろうか。これについて、SilvermanとTateによる”Rational Points of Elliptic Curve”(1994年第2版…

タクシー数の定義は、２つの正の３乗数の和として表す方法が２通りある最小の整数、であり、具体的には1729でした。また、前回の記事: では２つの正の３乗数の和で表す方法が３通りある最小の整数が87539319であることも、母関数の展開を行うことで証明しました。この方向でタクシー数を一般化することができます。 タクシー数\(Ta(n)\) : ２つの正の３乗数の和として表す方法が\(n\)通りある最小の整数。 すでに分かっている事実を数式で書くことが出来ます。 $$ Ta(2)=1729 \\ Ta(3)=87539319 $$ 一見、\(Ta(n)\)がどんな自然数\(n\)についても存在するか…

どうも. 忘れかけてましたが今学期の感想も書いていきたいと思います. 時間割 測度論 関数解析 数学基礎論A 代数学C1 計算機概論 幾何学B1 代数学B1 関数論B 離散数学入門 まとめ 時間割 こんな感じです. だいぶ減りました. 測度論 モノの面積を測るということを抽象化して, いろんな図形の面積を測ったり複雑な関数を積分したりしよう！っていう分野です. 通年で, 春学期では可測関数の定義とそのちょっとした性質くらいまでやりました. 数学科の授業にしては珍しく出席があって, 成績の20%分つきます. 対面試験はなくて, 期末レポートの提出で残りの80%が決まるっぽいです. 授業はとてもわ…

本ブログは3つの段落から構成されています。第1段落は本題への導入としての経験談であり、重要な部分ではありません。第2段落がタイトルでもある「他者を数字化して優越感の肥やしとして消費する事」についてです。最終第3段落は、転じて「数字化され消費される大衆」について書いています。 最近、セミナーとかに出ると「岡﨑さんですよね？ツイッター知ってます！」と(俺は知らない)人から話しかけられる事が多くなってきました。恐らく、俺が実名でツイッターをしている事が原因だと思います。*1先ず、俺は個人的に「数学関係者が数学の能力や実績以外の理由で知名度を得る事はダサい」という考えの人間です。そして、それこそ広く知…

ssh keyを生成しようと参考にしたgithubのhelpページで以下のように鍵を生成するよう書かれていた。 ssh-keygen -t ed25519 -C "your_email@example.com" https://docs.github.com/ja/authentication/connecting-to-github-with-ssh/generating-a-new-ssh-key-and-adding-it-to-the-ssh-agent 大抵ssh keyを作る場合は前回から年単位で時間が経っているため、rsaのbits長の目安を知るためにgithubのヘルプを見るよ…

夏休みで1週間スキップしましたが、2022年7月18日～7月31日に読んだ中で気になったニュースとメモ書き（TLSらじお第66回の前半用原稿）です。 夏休み終わりからの体調不良のため分量少なめ...。 [Key Recovery Attack on SIDH] [Bulletproof TLS Newsletter #91] [その他のニュース] ▼Zig言語によるTLS/QUIC実装 ▼Azure AD認証とTLS1.2 ▼DNSSECのおまとめRFC化 ▼TLS+HTTP/2演習(2015年) [まとめ]

前提知識 概要 文献 Jarvis『Algebraic Number Theory』 Lang 『Algebraic Number Theory』 Neukirch『Algebraic Number Theory』 関連記事 mermaid.initialize({startOnLoad: true}); window.MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']], //行内の数式 displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ], //独立行の数式 processEscapes: …

tauri-plugin-sqlにPRを送った際に、署名付きのコミットにしてほしいと言われたので、始めてコミットに署名をつけるという設定を行った。 github.com 単に以下のようにマークが付くというだけでなく、そのコミットが本人のものであることが証明できるようになっているらしい。 Verifiedというマークが付く 今回、上記リポジトリへのコントリビューションに必要ということで急遽設定したので、細かな背景・仕組みなどはまだ理解していないが、設定のために行ったことを備忘録として残しておくことにした。 自身の環境 mac環境はarm64の 11.6.7 (M1のMacBook Air) Gi…

先日、Blockstreamのブログ記事↓で、非対話型のSchnorrの署名集約スキームについて知ったので、 medium.com ↑にリンクされているドラフトBIPに記載されていた↓のペーパーを斜め読みしてみた。 https://eprint.iacr.org/2022/222.pdf Schnorr署名の集約と言えば、Bitcoinの文脈だと、MuSig2などの対話型の集約プロトコルが有名で、このような集約方法をフルアグリゲーションと呼ぶみたい。これはマルチシグをSchnorr署名の集約特性を利用して実現する方式で、複数の参加者が共通のメッセージに対して対話的に署名を生成し、それを単一の署…

mermaid.initialize({startOnLoad: true}); window.MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']], //行内の数式 displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ], //独立行の数式 processEscapes: true //数式の外でもドルマークが使えるように } }; 前提知識 概要 暗号理論・計算数論 素数分布論・解析的整数論 不定方程式論・ディオファントス幾何 文献 Shoup『A Computational Introduc…

中学高校の社会科でいろいろ習いましたが、そこで習った事物などについて、英語でなんて言うんだろうと思ったことありませんか？ そんな、社会科で出てくる英語をまとめてみました。 今回は地理編です。日本史と世界史はこちらをごらんください。

Optimistic vs. ZK Rollup: 相違と比較 Alex Gluchowski BIG UPDATE 2021: ZK RollupはEVM互換として対応しました!!! Optimus Prime vs. Wing Zero TL;DR：簡単な概要 Optimistic Rollupは、Ethereum上の汎用スマートコントラクトを短期的にスケールアップする為の有望技術です。早期の構築が実現すれば、セキュリティ/スケーラビリティのトレードオフを考慮した上で、既存のdappsやサービスの移行のより簡易化された方法を提供することができるでしょう。これにより、ETH 1.0は増大する…

1．はじめに Silverman Tate のRational Points on Elliptic Curves（以下,[Sil]と記す）の第4章は有限体上の楕円曲線を扱っている。章末の練習問題に取り組み始めたので、備忘録としてメモしておく。解答が不完全であったり、誤りがあったりする可能性はありますことご注意ください。誤りにお気づきの節はご連絡いただければ幸いです。 ※7月17日に4.2【問題】の解答の流れを追加した。 2．問題 4.1【問題】 を素数、 、 を円錐曲線 とする。このとき、(a),(b)を示せ。 ならば ならば または また、これらの例をあげよ。 【解答の流れ】 を変形して …