極限値

虚数のタワーとは虚数の指数の反復操作を意味している。i^i、(i^i)^iのような以下の列をご覧あれ。もちろん、「i」とは虚数です。これを計算すれば必ず複素数になります。 この虚数のタワーをガウス平面におとしてみたのが下図（以前も同様な計算してましたね） 縦軸が虚軸で横軸が実軸であります。 見た目、極限値がありありですな。三角状に折れ曲がりながら極限に接近してゆくのですね。 １０００階だてのタワーでの値は 0.4382827185649200167538431149039185809501 + 0.3605987950798971068122295281251186768445 I うーん、こ…

こんにちは！蟹の目です。これまで数列や関数の極限についていろいろ書いてきましたが、今回はコーシー列というものについて紹介したいと思います。このコーシー列は極限を議論することについて結構便利なものになっていますので、ぜひ覚えてもらえたらと思います。 今回の話題 収束する数列はコーシー列 区間縮小法 ボルツァーノワイエルシュトラスの定理 コーシー列は収束する コーシー列に関する問題 そもそもコーシー列とはなんでしょうか？|am-an|→0 (n,m→∞)を満たす数列{an}をコーシー列といいます。(∃n'[n,m≧n'⇒|am-an|<εなどと書く場合もあります)nとmを限りなく大きくしたときに数…

こんにちは！蟹の目です。今回は前回に引き続き極限のまとめとして問題をいくつか解いていきたいと思います。記述できるように理解しちゃってください。 今回の問題 a>0とするx1>√aとしてxn+1=(xn+a/xn)/2 (n=1,2,…)とする数列{xn}は収束し、極限値が√aであることを示せ [a1,b1]⊇[a2,b2]⊇…⊇[an,bn]⊇…において数列{an},{bn}が収束することを示し、(bn-an)→0 (n→∞)⇒an=bn (n→∞)であることを示せ 1. a>0とするx1>√aとして xn+1=(xn+a/xn)/2 (n=1,2,…)とする 数列{xn}は収束し、極限値が√…

こんにちは！蟹の目です。今回は前回に引き続き関数の極限値を求める問題をいくつか解いていこうと思います。今まで示した式を使って解いていくので、そっちの使い方もあわせて理解しちゃいましょう。 今回の問題 (x2-1)/(x3-1)→？ (x→1) {√(x2+x+1)-x}→？ (x→∞) sin3x/x→？ (x→∞) (1+x+x2)1/x→？ (x→0) {x2sin(1/x)}/sinx→？ (x→0) 1. (x2-1)/(x3-1)→？ (x→1) (x2-1)/(x3-1)={(x+1)(x-1)}/{(x-1)(x2+x+1)} =(x+1)/(x2+x+1) よって(x2-1)/…

こんにちは！蟹の目です。今回は関数の連続について書いていきたいと思います。高校までは出てくる関数がほとんど連続だったのであまり意識してきませんでしたが、今後は関数が連続であるかどうかが重要になってきますので、関数が連続であるとはどういうことなのか理解できるよう頑張りましょう。 今回の話題 関数が連続とは 区間って何？ 連続関数の基本性質 1. 関数が連続とは？ まず、関数が連続であることがどういうことか定義します。 f(x)→l(x→a)で、l=f(a)これが成り立つとき、f(x)はx=aで連続であるといいます。 数学記号を用いてより数学的に書くと、∀ε>0, ∃δ>0[|x-a|<δ⇒|f(…

背景 0^0の計算 0より大きい整数の場合 t=axの直線の場合 底が0の場合 0^0=1とすると便利なこと まとめ 先日、興味深いページを見た。 bipblog.com 筆者も大分昔調べたことがあり、当時の自分の中では納得のいく結論にたどり着いたことを思い出した。そして唐突ではあるが、この「0^0問題」を自分なりに解説する。 背景 0^0 は、結果が3パターン考えられる。 (i) 1 (ii) 0 (iii) 定義されない それぞれどういう理屈なのかは、↑のURLを参照してほしい。 または下記wikipediaを参照してもよい。 0の0乗 - Wikipedia 率直に言って、↑のwikip…

こんにちは！蟹の目です。今回から関数の極限について書いていこうと思います。 数列のときと同じく、数学的に関数の極限について示していきたいと思います。関数の極限は数列の極限と似ている部分があるので、数列の極限を理解した方なら問題ないと思います。 今回の話題 関数の極限値の定義 片側極限 関数の発散 1.関数の極限の定義 みなさん、高校のときに関数の極限をどう学びましたか？数列のときと同様、関数f(x)がx=aで極限値lをとるとは、xが限りなくaに近づくとき、f(x)が限りなくlに近づくと習ったと思います。 やはり、この限りなくというのは大学数学ではふさわしくありません。そこで、ここでは数列のとき…

こんにちは！蟹の目です。今回は極限の基本性質、俗に定理と呼ばれる4つの式について書いていきたいと思います。 今回登場する数列{an}と{bn}はそれぞれan→a (n→∞)bn→b (n→∞)であるとします。 今回の話題 an+bn→a+b(n→∞) anbn→ab(n→∞)、kan→ka(n→∞)( kは定数) an/bn→a/b (n→∞)bn,b≠0) an≦bn⇒a≦b ε-N論法の定義に則って定理を示していくので、基本的にまずεを用意し、最終的に定義の形になるように証明を進めていきます。それをわかった上で始めていきましょう！ 1. an+bn→a+b(n→∞) ∀ε>0をとる 仮定か…

はじめに .text { font-family: serif; } アニメ『明日ちゃんのセーラー服』は、蝋梅学園という架空の田舎の女子中高一貫校を舞台に、学内唯一のセーラー服を纏った限界集落出身の天真爛漫な少女、明日小路(あけびこみち)がクラスメイトたちを攻略と打ち解けていく物語である。アニメでは原作漫画を編さんし、ほとんどのキャラクターが主役となる回・パートがあり、16人の個性豊かなメインキャラクターたちの群像劇として楽しむこともできる。また、木崎-明日、戸鹿野-蛇森、苗代-鷲尾らの百合的な展開も見所だ。丁寧な作画で少女たちを描く本作は一部視聴者層に高く評価されるいっぽうで、フェティシズム…

「平成の～」シリーズで扱えなかった令和以降の東北大学後期数学のセットを解きます。

『罪と罰』試論のための予備的考察〈２〉 鳥の事務所 【はじめに】 ①本稿は2022年1月13日に本サイト『鳥――批評と創造の試み』に更新した「『罪と罰』のための覚書」（鳥 批評と創造の試み: ドストエフスキーを読む (torinojimusho.blogspot.com)）の続稿に当たる。今回タイトルを「『罪と罰』試論のための予備的考察」と改めた。そして、まだ途中である。続きが書かれることを本人も望んでいる。 ②ドストエフスキー『罪と罰』からの引用は原則として亀山郁夫訳（2008年-2009年・光文社古典新訳文庫）による。 目次 『罪と罰』試論のための予備的考察〈２〉. 1 10 余談から始ま…

このシリーズでは、平成の東北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。 8回目の今回は2012年になります。