積分コレクション

この頃ようやく暑さが去ったと思いきや、地球が本来の暦を思い出したように急に冷え込んできましたね。 最近少しだけ「多重ゼータ値（MZV）」なる、数学の足し算どうしの背後にある奇妙な、だけどとても興味深い話の、ほんの浅瀬に触れて 「これ、まだ解決できてない積分の問題に使えるかもしれない？」 と、懲りなく夜更かししてしまいました。 深夜の三時に布団にくるまり半身を起こして計算用紙とにらめっこしていると、指先と背中が冷えてきて、今年も冬の到来を感じます。

三年近く度々挑んでは跳ね返され、解き方を得られずにいた問題に決着がつきました！ ∫ [0,π/2] x cot(x) log(cot(x)) dx = π^3/48 という積分値を示せという問題です。 かつて知恵袋にて投稿され、それからずっと悩まされてきたものでした。 ↓以前の挑戦というか挫折というかぼやき。 pedantic-ganger.hatenablog.com この積分がかなりのヘビー級の問題でしたので、大きく５つのステップに章立てて追いかけて行きます。早速、見ていきましょう。 （以下、執筆中）

前回の記事（↓）の後半戦です。 pedantic-ganger.hatenablog.com 前回はtan置換(STEP1)を行い、式からタンジェントを取り除いたものの、式変形の次の方針に苦戦していたのでした。 今回はここから面白いテクニックを引用しつつ、回答の決着までつけようと頑張りました結果のご報告です。

質問 高校生です。Wolframalphaで遊んでいたら面白い答えが出てきて解いてみようと思ったのですが、この積分どうやって解きますか？∫0→π/4 √{tan(x)-tan^2(x)}dx 答えは( √{(1/2)+(1/√2)}-1 )πです。平方完成してtanx-1/2=1/2sinθなどとしても1/cosθが残りますしKing propertyでもうまくいかなそうです。 高校生です。Wolframalphaで遊んでいたら面白い答えが出てきて解い... - Yahoo!知恵袋 解けるかどうか分からないですが私なりに、少しずつ格闘の記録を記してみようと思います。

質問 ＜難問＞ (√cos2x)/sin(x+pi/4) を 0~pi/4 の範囲でxについて積分せよ。 ＜難問＞(√cos2x)/sin(x+pi/4)を0~pi/4の範囲... - Yahoo!知恵袋 積分 ∫ [0,π/4] √(cos(2x))/sin(x+π/4) dx

概要 abstract 「積分対数」シリーズと私が呼んで投稿している、一連の積分問題の紹介ページへのリンクをここではまとめております。 リンクの貼られていないものは未だ記事にまとめられていない、もしくはまだ完全解決できていない問題ですので、ぜひぜひ挑戦してみてくださいませ。 難易度ごとの並びにはなっておりませんが、後の方になるにつれ決着のついてない未解決問題だったりします。 「解いたぞー」という方がおられたらぜひお教えして欲しいです。

質問 この積分解ける人いますか？ - 3次の分数式の積分ですね。ややめんどくさい... - Yahoo!知恵袋 回答 3次の分数式の積分ですね。ややめんどくさいですがパターンが決まってますのでサクサク解いちゃいましょう。