距離空間

距離空間

(サイエンス)
きょりくうかん

任意の2点x,yに以下の条件を満たす距離関数d(x,y)が定義されている集合Xを距離空間と言い、数学における距離の概念の抽象化である。

  1. d(x,y)は非負実数
  2. d(x,y)=0であればx=y
  3. d(x,y)=d(y,x)
  4. d(x,z)+d(z,y)≧d(x,y) (三角不等式)

位相空間の内で距離空間は扱い易く、ハウスドルフ性、点列収束性、第一可算公理εδ論法等が利用できる。

最も一般的な距離関数はn次元実数空間上のユークリッド距離で、任意の2点x=(x_{1},...,x_{n})y=(y_{1},...,y_{n})に対してd(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}と定義され、例えば三角不等式コーシー-シュワルツの不等式を使い示される。

有限集合Xに対しては、例えば連結グラフ(任意の2点がいくつかの辺で繋がっているグラフ)に対して、d(x,x)は0で、異なる2点x,yに対してはd(x,y)を2点x,yを繋げる最小の辺の数、と定義すれば距離関数の条件を満たす。

この他、p進距離と呼ばれる整数上の距離関数や、複素上半平面上の保型型式で利用される距離関数、L^{p}空間で定義される関数同士の距離関数(∞≧p≧1)など多数の重要な例がある。


問いの例)実数直線上の次の関数の内距離関数とならないのはどれか
い) d(x,y)=a^{|x-y|}-1でa>1
ろ) d(x,y)=\mbox{log}(|x-y|+1)
は) d(x,y)=|x-y|


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