連続写像

今日の数学は, ブルバキ多様体の一部の定式化です. 本当はブルバキリー群をやりたかったのですが, 予定変更でした. X, Y, X', Y' を C^r_i 級多様体, f: X → Y, g : X' → Y' を C^r_i 級型射で, f, g はそれぞれ点 a ∈ X, b ∈ X' で C^r_i 級差し込みになっているとすると, f × g : X × X' → Y × Y' は点 (a, b) で C^r_i 級差し込みになります. 同様に, X, Y, X', Y' ∈ |C| , f: X → Y, g : X' → Y' を連続写像で, f, g はそれぞれ点 a ∈ X,…

前の記事で、Hecke指標の構成法を云々しながら気づきましたが、結局のところ私は、知らないうちにイデール群の商を計算しようとしていたのです。そして、この商はエキゾチックなものなどではなく、昔ながらの仲間たちの同窓会のような群なのです。このことを説明します。 Hecke指標の導手, 導手を固定して、ありうるHecke指標を考える, 指標群への帰結 Hecke指標の導手 Hecke指標 $c\colon \mathbf I_k \to S^1$ が与えられたとします。有限個の$\mathfrak p$を除いて、その局所成分 $c_{\mathfrak p}\colon k^*_{\mathfrak…

記事の内容 この記事では、 「集合と位相」をなぜ学ぶのか 数学の基礎として根づくまでの歴史 という本の内容をまとめたい。 数学書を読んでいく上での、勉強メモのような位置付けになる。基本的には、私自身の勉強のためのメモだ。しかし、同じ本を読む人にとっても役立つようなメモを目指したい。 内容は、勉強が進むにつれて常に更新していく。 一緒に数学を楽しみましょう。ゆったりと。 興味がある人は、目次へどうぞ。 記事の内容 4.3数学の基礎としての集合論 4.4直線と平面は同じ大きさ 5.2平面の点集合、点列の収束とε近傍 5.3写像の連続性 5.4内部と外部と境界 5.5閉包 5.6開集合と閉集合 5.…

今回は有名なゼノンの運動のパラドックスと呼ばれるものに関して考えてみます．ざっくり言うと「地点Aから離れた地点Bへの運動は，無限個の中間点を経由しければならないので存在しない」というようなことを言っています．「二分法」「アキレスと亀」「飛んでいる矢」など，理由に当たる部分にいろいろなバリエーションがありますが，どれも「運動が存在しない」というものを結論付けるものです．詳しくは Wikibedia の記事を参照してください． ja.wikipedia.org現実には離れた地点まで移動できるわけで，ゼノンのパラドックスが言っているようなことは起きません．しかしこのパラドックスのどこが間違っているか…

.entry-header{display: none;} .pager{display: none;} .entry{padding: 0% 2% 2% 2%;} .entry{margin: 0% 0% 0% 0%;} 索引 数字項番 1σ80.2.1. 1シグマ80.2.1. 2×2分割表22.1.2. 22.1.3. 2σ80.2.1. 2クラス分類問題40.4.1. 2項係数の公式90.6.2. 2シグマ80.2.1. 2次形式90.3.15. 2次形式の符号90.3.16. 2次デルタ法6.3.5. 6.3.6. 2値データ集合40.4.2. 2変量正規分布5.2.1. 3σ80.…

第５講の振り返り） ホモトピーとホモトピー同値の導入を行った。わざわざ見なくても今回の講座は十分に理解できると思われるが、一応リンクを載せておく。： いきなり一般の場合を考えるのはとっつきにくいということで、今回はホモトープの特別な場合である「道についてのホモトープ」というものを考えていき、そこから基本群と呼ばれる群構造を導入する。 【目次】 ホモトープの定義（再掲） 道についてのホモトープの定義 基本群の導入 step①：集合の用意 step②：演算を入れる step③：群であることの証明 ホモトープの定義（再掲） 今回扱う道についてのホモトープがホモトープの概念の特殊なケースになっているこ…

前回の振り返り） 基本群の導入とそれが群であることの証明を行った。記号などは第６講で定められているのをそのまま使うから必要に応じて参照してほしい。： 今回は、まず基本群が位相不変な性質であることを示す。それによって、基本群が位相空間の同相性を判別する道具になることを知る。この観点からも基本群は重要な概念であることが分かると思う。 【目次】 基本群の位相不変性 基本群の位相不変性 Theorem 7.1:基本群の位相不変性 を位相空間として、とする。を同相写像とすると、が成り立つ。つまりこの二つの基本群は群同型になる。 [proof] step① 同型であることを示すには同型写像を探せばよい。そ…

第４講の振り返り） 前回は弧状連結性について解説した。今回の内容と直接の関係はないので、見ていなくてもまったく問題ない。一応リンクを貼っておく。： 今回はホモトピーを定義して、その後ホモトピー同値を定義する。その過程で直積位相という直積空間に入る位相の定義をする。最後にそれらの概念を考える意義を言って終わる。次回以降の講座ではひとまずホモトピーの詳細に立ち入るのは避けて、その一番簡単な例である基本群について見ていくことにする。 【目次】 ホモトピーとホモトープの定義 ホモトピー同値の定義 ホモトピー同値の性質とそれを考える意義 ホモトピーとホモトープの定義 Def 5.1:ホモトピーとホモトー…

第２回の振り返り） 第２講では、位相空間の解説をした。トポロジーでは常に位相空間を考えていくから、是非とも身につけておきたい概念である。必要に応じて見返していただきたい。： 今回は連結性の定義とその意味を解説し、連結性が位相的性質であることを証明する。 この講座は動画でも解説している。ぜひ見ていただきたい。： youtu.be 【目次】 連結性の定義 連結性が位相的性質であること 連結性の判定法 例題 相対位相の定義 類題 連結性の定義 Def 3.1：連結性 位相空間に対して、 を満たすの開集合が存在しないとき、が連結であるという。 連結性というのは大雑把に言ってつながっていることを表す概念…

微分幾何学とは、微積分を用いて図形を取り扱っていく分野の総称である。図形といっても、実際に目に見える三角形や立方体だけではなく、より高次元のものもそれに含まれている。 とはいえ、いきなり高次元の図形に対して微分幾何学をやっていくのは少しハードかもしれない。そこで本講座ではまず、一次元と二次元の場合の微分幾何学を解説する。すなわち、曲線と曲面を取り扱っていく。 そしてその講座の第1講である本記事では、曲線を特徴づける曲率という概念を自然な発想で導入する。 【目次】 平面上の曲線の定義 曲線の微分幾何学でやりたいこと 曲線の曲がり具合を測るには 弧長パラメータの導入 弧長パラメータで曲線の曲がり具…

『選ばれた者が再び選ばれているのです。 あなた方は自分で自分を選びました。 したがって、あなた方が自分のためにデザインした青写真にしたがって行動を開始しなければ、ある程度、時間切れになる可能性はあります。 世界がものすごい混乱状態となって、本来の光に基づいた人生を生きていなければ、時間切れになってしまうまでには、後、数年あるでしょう。 別な言い方をすると、もしも、あなた方が、決断するのを、延ばし延ばしにするならば、津波がやってきたときにその引き波にさらわれてしまうことになるでしょう。 多分、文字通りに。』 そういえば、$\text{Ker}\hspace{ 1pt }f$ はあっても $\te…