関数解析

概要 補題1の証明、補題2の証明、補題3の証明 補題1 - 点列の収束先は一意的 を距離空間とする。 を収束列とする。 このとき、 の収束先は "一意的" である。 証明 かつ として、 を示せばよい。 実際、三角不等式より、 よって、はさみうちの原理より、 ゆえに、 □ 補題2 - 収束列はコーシー列 を収束列とすると、 はコーシー列である。 証明 は収束列だから、。 このとき、 に対し、三角不等式を用いて、よって、 となり、これはコーシー列の定義そのもの □ 補題3 - コーシー列は有界列 をコーシー列とする。このとき、 は有界である。 証明 をコーシー列だから、 。 つまり、。 特に、 …

概要 開球、有界な集合、有界な点列、部分列、収束列、コーシー列の定義 開球、有界な集合、有界な点列、部分列 ・ を距離空間とする。 (i) とする。 を " を中心とする半径 の開球" という。 (ii) に対し、 と となるとき、 " は有界" であるという。 (iii) の点列 に対し、 が有界であるとき、" は有界な点列"であるという。(iv) を の点列とする。 このとき、 で、 なる数列 に対し、 を " の部分列" という。 収束列、コーシー列 ・ を距離空間とする。 (i) 点列 と点 に対し、 となるとき、 " は収束列" であるといい、 または と書く。 (ii) 点列 に対…

概要 距離空間の例 距離空間の例 実数全体の集合 有理数全体の集合 ※ は完備性をもつが、 は完備性をもたない。(完備性については後述) 、 次元ユークリッド空間 ・ ・ ・ 数列空間 ※スクリプト書体のコマンド\mathscrが効かないので、l^pが正しく表示されない 注意 という事実がある。 数列空間 注意 という事実がある。 閉区間 上の連続関数空間 ←の積分はリーマン積分の意味 注意 という事実がある。 これも距離になる。

概要 完備距離空間の定義、定理1の証明 完備距離空間の定義 を距離空間とする。 任意のコーシー列 が収束列となるとき、 は完備距離空間という。 定理1 実数全体の集合 は距離 のもとで完備距離空間である。 証明 をコーシー列とする。 補題 より、 は有界列となる。 よって、 とおくと、 は有界な単調減少列となるから、 (上極限)が存在する。 さて、 はコーシー列であるから、、すなわち、 特に、 となるが、上式で、 とすると、 一方、 となるから、上式で として、 に対し、 これは、 よって、 は収束列である。□

勉強・読書 Real and Complex Analysis (–pp.40; 2.12 Urysohn's Lemma) 時間をかけて読んで証明を理解した。 ウリゾーンの補題には選択公理が必要だとどこかで読んだが、この本の証明中のどこで選択公理を使っているのかわからなかったので調べた。 https://people.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/measure.pdf#page=287に書いてあった。 従属選択公理( Axiom of Dependent Choice: ) 非空集合 上の二項関係 が「任意の に対しある が存在して、 」(この性質を en…

勉強 Real and Complex Analysis (–pp.38; 2.10 Theorem) ch.2 Positive Borel Measures に突入。最初の方は簡単なトポロジー。ウリゾーンの補題の直前まで読んだ。すぐ理解できなかったことについて書く。 定理 を位相空間とする。 の近傍 ( を含む の開部分集合 ) を と書く。 が開集合 。 証明 自身が の近傍だから、。また、定義から だから、。 のとき、 が開集合 の合併だから、位相空間の公理から は開集合。 2.5 Theorem Corollary (a) ハウスドルフ空間 のコンパクト部分集合 は閉集合 。 証明 …

勉強 Real and Complex Analysis (–pp.30; 1.38 Theorem) Rudin's RCAを読んでいた。 ルベーグ積分可能なら級数と積分が交換可能であることを示す定理の証明で に少し悩んだので書いておく。 ] が 上の非負可測関数であり、 とすると、である。このとき、 だとする。 上では 定数だということに注意すると、単関数のルベーグ積分の定義から、 また、ルベーグ積分の性質から、指示関数を の記号を使って書くと、 したがって、 となるが、そのためには でなくてはならない。 日記 断酒8日目。現人神。 甥っ子が熱出したので一日面倒見た。

ここでは、集合論の基礎確認をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 動画解説（YouTube） 全射 単射 全単射 まとめ 紹介 おわりに＆おすすめ 動画解説（YouTube） 準備中…※よければチャンネル登録お願いします。チャンネルはこちら『全射、単射、全単射』とは、写像の性質を表す言葉です。集合を対象とする数学では、集合と集合の間の関係を定式化するために写像という概念が使われます。ここでは、写像における『全射、単射、全単射』について説明します。 全射 まず、『全射』について説明します。写像 が全射であるとは、任意の に対して、ある が存在して、 となることを言い…

ここでは、指数関数・対数関数の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。【問題】 ①の桁数を求めましょう。 ②は小数第何位に初めて0でない数となるか求めましょう。 ただし、とします。【追記】常用対数の練習となります。2^10で考える問ではありません。 動画解説（YouTube） 解説 紹介 おわりに＆おすすめ 動画解説（YouTube） 準備中…※よければチャンネル登録お願いします。チャンネルはこちら 解説 ①から解いていきます。 ですので、 となります。よって、 より、解①：は10桁である とわかります。次に、②を解きます。 ですので、 となります。よって、…

ここでは、指数関数・対数関数の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 問題 動画解説（YouTube） 解答 紹介 おわりに＆おすすめ 問題 の大小関係を調べましょう。 動画解説（YouTube） youtu.be※よければチャンネル登録お願いします。チャンネルはこちら 解答 の大小関係を調べます。それぞれ『２で揃える』ということがポイントとなります。そうすると次のようになります。 上を並べると次のようになります。 よって、求める解は次のようになります。 紹介 noteでメンバーシップをしています。 ドジソンのメンバーシップ｜ドジソン 数学で中心に投稿・活…

ここでは、ε-N論法＆ε-δ論法の数列の極限に関する確認をする。 動画解説（YouTube） 数列の収束と発散 全称記号と存在記号について 例：はさみうちの原理 証明 よく見る例で練習 証明① 証明② 証明③ 極限の一意性 証明 紹介 おわりに＆おすすめ 動画解説（YouTube） 準備中…※よければチャンネル登録お願いします。チャンネルはこちら 数列の収束と発散 を数列とする。数列が収束するとは 任意のに対して、あるが存在し、任意のに対して、 となるとき、はに収束するという。 上を または、 と表す。数列が発散するとは が収束しない時、発散するという。 全称記号と存在記号について 『任意のに…

ここでは、極限の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 問題 動画解説（YouTube） 解き方 紹介 おわりに＆おすすめ 問題 を求めよう。 動画解説（YouTube） youtu.be※よければチャンネル登録お願いします。チャンネルはこちら 解き方 とする。 △OABと扇形OAB、△OAPの面積を比較することで、 が得られます。両辺を2倍、で割り、逆数を取ると次のようになります。 ここで、 であるので、はさみうちより、である。また、のときは、とおくことで、後は同様。よって、 が得られる。 紹介 noteでメンバーシップをしています。 ドジソンのメンバー…

ここでは、集合論の基礎確認をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 動画解説（YouTube） 写像 定義域と値域 集合の像 逆像 紹介 おわりに＆おすすめ 動画解説（YouTube） 準備中…※よければチャンネル登録お願いします。チャンネルはこちら写像とその定義域と値域、集合の像、逆像について 写像 集合 と集合 の間に写像 があるとは、 の要素 に対して の要素 がただ一つ対応するとき、すなわち となるときに言います。このとき、 を の定義域と呼び、 を の値域と呼びます。 定義域と値域 写像 の定義域 は、 が定義される集合のことです。 具体的には、 の各要素…

ここでは、極限の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 問題 動画解説（YouTube） 解答解説 ロピタルの定理の話 紹介 おわりに＆おすすめ 問題 を求めよう。 動画解説（YouTube） youtu.be※よければチャンネル登録お願いします。チャンネルはこちら 解答解説 について解いていきましょう。2通りの解き方で見ていきます。①通常版： ②ロピタルの定理で解く： 上の①の解き方が一般的で楽ですが、ロピタルの定理を使うやり方もあります。まず、は型であることに注目します。 そこで、ロピタルの定理を使います。 ロピタルの定理の話 余談にはなるが、ロピタル…

ここでは、積分の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 問題 動画解説（YouTube） 解き方 紹介 おわりに＆おすすめ 問題 を求めよう。 動画解説（YouTube） youtu.be※よければチャンネル登録お願いします。チャンネルはこちら 解き方 まず、cot(コタンジェント)とは何かについて確認します。 このように、tan(タンジェント)の逆数となっています。それでは、問題を解いていきましょう。とおく場合もありますが、大変な計算になるので、 下のように工夫をします。 とできますので、とすれば良さそうです。そうすると次のように計算できます。 よって、…

こんにちは、ドジソンです。 今回は関数解析の教科書,参考書,問題集,演習書を紹介します。 実際に使ったものなので、勉強する際の参考にしてください。 もちろん、関数解析が初めての方もOKです。 ※しっかり実力を付けたい場合、ここで紹介している、『参考書＋問題集＋レベル高めの問題集』の3冊は最低でも必要と思います。 筆者はここで紹介しているもの＋3冊は使いましたが、余裕があるなら買えるだけ買った方がいいですね。 はじめて関数解析をするなら… 問題練習をしたい場合 初心者におすすめ 中級者向け（ある程度理解している場合） レベル高め 洋書 おわりに はじめて関数解析をするなら… 関数解析 (岩波オン…

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ここでは、集合論の基礎確認をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 動画解説（YouTube） 和集合と共通部分 和集合 和集合の性質 共通部分 共通部分の性質 紹介 おわりに＆おすすめ 動画解説（YouTube） youtu.be※よければチャンネル登録お願いします。チャンネルはこちら 和集合と共通部分 集合の間の演算には、和集合と共通部分があります。 和集合 2つの集合AとBについて、それぞれの集合に含まれる全ての要素を集めた集合をAとBの和集合といい、記号で表すと次のようになります。例えば、集合と集合がある場合、これらの和集合は次のようになります。 和集合は、…