関数解析

概要 補題1の証明、補題2の証明、補題3の証明 補題1 - 点列の収束先は一意的 を距離空間とする。 を収束列とする。 このとき、 の収束先は "一意的" である。 証明 かつ として、 を示せばよい。 実際、三角不等式より、 よって、はさみうちの原理より、 ゆえに、 □ 補題2 - 収束列はコーシー列 を収束列とすると、 はコーシー列である。 証明 は収束列だから、。 このとき、 に対し、三角不等式を用いて、よって、 となり、これはコーシー列の定義そのもの □ 補題3 - コーシー列は有界列 をコーシー列とする。このとき、 は有界である。 証明 をコーシー列だから、 。 つまり、。 特に、 …

概要 開球、有界な集合、有界な点列、部分列、収束列、コーシー列の定義 開球、有界な集合、有界な点列、部分列 ・ を距離空間とする。 (i) とする。 を " を中心とする半径 の開球" という。 (ii) に対し、 と となるとき、 " は有界" であるという。 (iii) の点列 に対し、 が有界であるとき、" は有界な点列"であるという。(iv) を の点列とする。 このとき、 で、 なる数列 に対し、 を " の部分列" という。 収束列、コーシー列 ・ を距離空間とする。 (i) 点列 と点 に対し、 となるとき、 " は収束列" であるといい、 または と書く。 (ii) 点列 に対…

概要 距離空間の例 距離空間の例 実数全体の集合 有理数全体の集合 ※ は完備性をもつが、 は完備性をもたない。(完備性については後述) 、 次元ユークリッド空間 ・ ・ ・ 数列空間 ※スクリプト書体のコマンド\mathscrが効かないので、l^pが正しく表示されない 注意 という事実がある。 数列空間 注意 という事実がある。 閉区間 上の連続関数空間 ←の積分はリーマン積分の意味 注意 という事実がある。 これも距離になる。

概要 完備距離空間の定義、定理1の証明 完備距離空間の定義 を距離空間とする。 任意のコーシー列 が収束列となるとき、 は完備距離空間という。 定理1 実数全体の集合 は距離 のもとで完備距離空間である。 証明 をコーシー列とする。 補題 より、 は有界列となる。 よって、 とおくと、 は有界な単調減少列となるから、 (上極限)が存在する。 さて、 はコーシー列であるから、、すなわち、 特に、 となるが、上式で、 とすると、 一方、 となるから、上式で として、 に対し、 これは、 よって、 は収束列である。□