関数解析

概要 補題1の証明、補題2の証明、補題3の証明 補題1 - 点列の収束先は一意的 を距離空間とする。 を収束列とする。 このとき、 の収束先は "一意的" である。 証明 かつ として、 を示せばよい。 実際、三角不等式より、 よって、はさみうちの原理より、 ゆえに、 □ 補題2 - 収束列はコーシー列 を収束列とすると、 はコーシー列である。 証明 は収束列だから、。 このとき、 に対し、三角不等式を用いて、よって、 となり、これはコーシー列の定義そのもの □ 補題3 - コーシー列は有界列 をコーシー列とする。このとき、 は有界である。 証明 をコーシー列だから、 。 つまり、。 特に、 …

概要 開球、有界な集合、有界な点列、部分列、収束列、コーシー列の定義 開球、有界な集合、有界な点列、部分列 ・ を距離空間とする。 (i) とする。 を " を中心とする半径 の開球" という。 (ii) に対し、 と となるとき、 " は有界" であるという。 (iii) の点列 に対し、 が有界であるとき、" は有界な点列"であるという。(iv) を の点列とする。 このとき、 で、 なる数列 に対し、 を " の部分列" という。 収束列、コーシー列 ・ を距離空間とする。 (i) 点列 と点 に対し、 となるとき、 " は収束列" であるといい、 または と書く。 (ii) 点列 に対…

概要 距離空間の例 距離空間の例 実数全体の集合 有理数全体の集合 ※ は完備性をもつが、 は完備性をもたない。(完備性については後述) 、 次元ユークリッド空間 ・ ・ ・ 数列空間 ※スクリプト書体のコマンド\mathscrが効かないので、l^pが正しく表示されない 注意 という事実がある。 数列空間 注意 という事実がある。 閉区間 上の連続関数空間 ←の積分はリーマン積分の意味 注意 という事実がある。 これも距離になる。

概要 完備距離空間の定義、定理1の証明 完備距離空間の定義 を距離空間とする。 任意のコーシー列 が収束列となるとき、 は完備距離空間という。 定理1 実数全体の集合 は距離 のもとで完備距離空間である。 証明 をコーシー列とする。 補題 より、 は有界列となる。 よって、 とおくと、 は有界な単調減少列となるから、 (上極限)が存在する。 さて、 はコーシー列であるから、、すなわち、 特に、 となるが、上式で、 とすると、 一方、 となるから、上式で として、 に対し、 これは、 よって、 は収束列である。□

勉強・読書 Real and Complex Analysis (–pp.40; 2.12 Urysohn's Lemma) 時間をかけて読んで証明を理解した。 ウリゾーンの補題には選択公理が必要だとどこかで読んだが、この本の証明中のどこで選択公理を使っているのかわからなかったので調べた。 https://people.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/measure.pdf#page=287に書いてあった。 従属選択公理( Axiom of Dependent Choice: ) 非空集合 上の二項関係 が「任意の に対しある が存在して、 」(この性質を en…

勉強 Real and Complex Analysis (–pp.38; 2.10 Theorem) ch.2 Positive Borel Measures に突入。最初の方は簡単なトポロジー。ウリゾーンの補題の直前まで読んだ。すぐ理解できなかったことについて書く。 定理 を位相空間とする。 の近傍 ( を含む の開部分集合 ) を と書く。 が開集合 。 証明 自身が の近傍だから、。また、定義から だから、。 のとき、 が開集合 の合併だから、位相空間の公理から は開集合。 2.5 Theorem Corollary (a) ハウスドルフ空間 のコンパクト部分集合 は閉集合 。 証明 …

勉強 Real and Complex Analysis (–pp.30; 1.38 Theorem) Rudin's RCAを読んでいた。 ルベーグ積分可能なら級数と積分が交換可能であることを示す定理の証明で に少し悩んだので書いておく。 ] が 上の非負可測関数であり、 とすると、である。このとき、 だとする。 上では 定数だということに注意すると、単関数のルベーグ積分の定義から、 また、ルベーグ積分の性質から、指示関数を の記号を使って書くと、 したがって、 となるが、そのためには でなくてはならない。 日記 断酒8日目。現人神。 甥っ子が熱出したので一日面倒見た。

現在２０２４年１０月５日１９時５３分である。（この投稿は、ほぼ３４５１文字）麻友「それが、起こったのは、２０２４年９月２８日１４時７分９秒 から １４時３６分３０秒の間。マクドナルドにいるときだった」若菜「その前日、mayuandtaro.hatenablog.comの投稿での、最後に添付した、『 は、 のことではなく、 が真だ、という意味なのだ』という５ページに渡る文を書いて、お父さんは、絶好調だった」結弦「具体的には、『ルベーグ積分を、どうやったら攻略できるのだろう？』と、考えていて、 『研究ノート１０』の６００ページ（最終ページ）。２０２４．９．２８ １４：０７：０９「 測度とは、 例え…

2024年9月20日時点での既刊のちくま学芸文庫全2,065点（セット版を除く）をあげた。文庫の整理番号順に従って表記（一部変更あり）した。「♾️」マークはMath&Scienceシリーズ（青背）を示す。人名表記の揺れ（例「シモーヌ・ヴェイユ」と「シモーヌ・ヴェーユ」）は訳者に従い、統一はせずそのままにした。編者、訳者は一部を除き割愛し、編著者が3人以上に及ぶ場合は代表者1人の名前のみ記した。 Math&Scienceシリーズのみの刊行書目一覧はこちら→ちくま学芸文庫M&S刊行書目一覧 最新版 - karumerabunkoのブログ 浅田彰『ヘルメスの音楽』 赤坂憲雄『異人論序説』 赤坂憲雄『…

この記事では，位相線形空間 が Hausdorff 空間であることを の近傍によって特徴づける次の定理を紹介します．Hausdorff 性は「異なる 2 点を互いに交わらない開近傍で分離できる」ことを表します．この性質は，命題 2 で述べるように，閉近傍の共通部分を用いて特徴づけることができます．したがって，位相空間が線形性を持っているなら，Hausdorff 空間であることは，空間のどこか 1 点，例えば点 の閉近傍の共通部分を用いて特徴づけることができそうです．定理 4 の主張は，これが実は閉近傍に限るのではなく，近傍でも良い，ということを意味します．さて，Hausdorff 性の定義から…

東工大数学系・東大数理 院試体験記(2/2) 東工大数学系・東大数理 院試体験記(2/2) はじめに 東工大院試 中日 東工大院試 口述試験 東工大院試後～東大院試前 東大数理1日目 東大数理 英語 東大数理 A問題 東大数理 2日目 東大数理 B問題 東大数理 3日目 院試の感想 1. きつかった 2. 楽しかった 3. 体調やメンタルの管理について考える良い機会になった おわりに 院試対策会の同期の院試体験記（随時追加します） はじめに この記事は以下の記事の続きです。 senjirosenjiro.hatenablog.com 東工大院試 中日 この日は東工大院試の筆記試験8/16と口述…

院試体験記 院試体験記 私は誰なのか はじめに 最も伝えたいこと 試験形式について B3 12月～B4 4月 B4 5月～7月 B4 8月 東工大院試 2日前 東工大院試 前日 東工大院試 当日 東工大午前 東工大午後 東工大 英語 東工大院試当日 試験後 続き 私は誰なのか 東工大の数学系におり、2024年8月に2025年度の院試を受けました。東工大の数学系と東大の数理科学研究科を受験しました。どちらも合格しました。専門は偏微分方程式論（略してPDEと言う）で、解析学専攻です。私は過去の先輩方の合格体験記or不合格体験記を非常に参考にしていたため、私も書くことにしました。なお、この記事は多分…

表題の通りです。分野は解析です。問題のかなり具体的なネタバレは脚注にしています。これを読んでいる多くの人は解析専攻ではないと思うので、どこに需要があるかはよくわかりません（解析固有の事情が沢山現れます）が、今後受ける人の参考になればと思います。 何が誰の役に立つかわからないので、あまり整理せずに書いています。また、適宜追記する可能性があります。いずれ書きたいと思っていること：院試対策のスケジュール 試験前 A300＋B200は取りたい、あわよくば400＋300、というつもりで試験に行った。講義資料やノートを参照しても良くて時間無制限で計算ミスをしないという状況ならA全完もB全完もそれなりに現実…

自分の生活で外部に発信することがほとんどなくて、色々と悪影響かなと思い始めたので、ブログを始めてみます。 普段日記や週間報告、数学の記事は書く習慣があるので、そこそこ更新はできるはず。。。 本当はyoutubeで解説動画作ったりしたいけど、新しいことに手を出す気力があまりない。 自分の研究の進捗や勉強内容も書きたいですが、詳細な内容は単純に書くのがめんどくさいので多分書かない。 多くはただの週間の日記になると思います。趣味もそんなないし 自己紹介 1995年生まれ、就業経験なし。 2013年大学入学、数理モデルっぽいのをやる学部に進学。 2018年数学系の大学院に進学。作用素環論を勉強、研究。…

現在２０２４年８月６日１時４９分である。（この投稿は、ほぼ５６８４文字）麻友「お母様に、５０冊にしなさいと、言われたのよね」結弦「本当に、できるの？」私「どれだけ必要か、調べてみよう」 若菜「まずどこから、手を付けるのですか」私「既に私が、ボロボロにしている本だ」 ボロボロになっている本矢ヶ部『数Ⅲ方式ガロアの理論』（３）（ボロボロになったので、改めて購入、その後出版された新装版も購入。計３冊持っている。以下も同様）大芝『数学基礎概説』（２）小林・茂木『接続の微分幾何とゲージ理論・微分幾何学とゲージ理論』（３）齋藤・杉浦『線型代数入門・解析入門Ⅰ・Ⅱ』（３）松本・松島・志賀・田村・小松『多様体…

余暇 今週はほとんど荒木, 不二洋『量子場の数理 』（岩波書店）を読んでいた（付録のヒルベルト空間論、１，２，５章初めのほう）。 www.iwanami.co.jp 日置場の量子論を読んでいて漸近場がなぜ $ \hat{H_0} $ で時間発展できるのかいまいちわからなかったのでいくつか手元にある文献を眺めた結果ワインバーグか荒木量子場の数理を読めばちゃんとわかりそうな気がして読み進めていた。 難しいが面白いという感じの本。あとHaagの局所物理量の話も面白そうなので読んでみたい。 この辺本格的に読むなら関数解析と作用素環も勉強しなくてはならない。 それとは別に夏休みの間に弱測定か量子リソース…

女児向け。 舞台背景 ほぼ女性のロマンシスランド。ガールスカウト。ジャズ喫茶。漫画喫茶。ネットカフェ。メイド喫茶。楽器屋。天文台。光学機器専門店。ボルダリングジム。クライミングショップ。ダーツショップ。ソフトボールクラブ。サッカークラブ。バレーボールクラブ。バスケットボールクラブ。テニスクラブ。ビリヤード場。囲碁クラブ。将棋教室。トレカショップ。DIYクラブ。画材屋。模型店。燻製専門店。園芸店。ワインショップ。ビール専門店。酒屋。占い屋。ミリタリーショップ。ゴルフ場。乗馬クラブ。陶芸教室。レザークラフトショップ。果実酒教室。スキーショップ。スノーボードショップ。盆栽店。スケボークラブ。スイミン…

工場でのメイキング動画感覚、プロジェクトのドキュメンタリー感覚、ダイジェスト感覚。プロット同然。骨組みだけ。ドラマ性とか活躍とかは特にない。男の子向け、オッサン向け。TRPG感覚？野望系シミュレーション？特に乱世ではないけど小規模な紛争、緊張状態程度。プレイヤー枠…元宇宙移民の皇帝、地球組織幹事長、ロボット産業連盟盟主とか。元凶枠として186人の女大天狗たち、パン工場のおじさん。機動戦艦や機攻隊のような風合い。 ■■■一年目■■■宇宙移民50周年。 世界の統治機構。元老院・賢人会・枢密院。スパコン・メインフレーム系のジャンルデウス群、創作ジャンル・表現・言論のジャッジ、倫理審査、自由に振る舞え…

拙著『グラフニューラルネットワーク』が重版して第 3 刷となりました。皆さまありがとうございます！ 拡散モデルと最適輸送でもやりましたが、漫画家さんやイラストレーターさんが重版したときに重版感謝の描き下ろしイラストを投稿しているのを見ていいなと思ったので、僕も専門書が重版したときに重版感謝の書き下ろし専門記事を投稿します。 本稿では、ICLR 2024（5/7 - 5/11 @ウィーン）で発表されたグラフニューラルネットワーク (GNN) 関連の研究動向を紹介します。 ICLR 2024 で発表された GNN 関連の論文は全部で 170 本です。凄まじい量ですね。ICLR 2024 では全て合…