集合論

松坂先生の集合論の本を使って同じ学年の子と継続している勉強会．3週間以上議論になった問題に，何となく決着がついたので記録．ほとんど教えてgooの人の回答と同じです．教えてgooを作った人に感謝． 濃度のべきについて -濃度のべきについての証明で、わからないことがあ- 数学 | 教えて!goo 濃度の冪についての証明 濃度の積，冪などの定義を使えば，上の命題はを示すことと同義である．ここでは集合の濃度を表しているとする． の任意の元に対してを固定すると，の元になることから，の元を用いて以下のように表すことができる． 任意のに対して， 上記においてはの元であることを強く意識すること． からの写像を…

ベルンシュタインの定理とは ベルンシュタインの定理は集合の濃度に関する定理で、とても重要です。ベルンシュタインの定理 任意の集合 に対し、 から への単射と から への単射が存在するならば、 が成立する。 (ここでは は対等の記号を表す。)ベルンシュタインの定理は以下のように言い換えもできます。ベルンシュタインの定理の言いかえ 証明 単射 と が存在したとする。任意の に対して、 の部分集合 をによって定めます。このとき、任意の に対して、が成り立ちます。 のイメージを図1に記しておきます。 図1 次に、 を満たす の部分集合 全体からなる集合族を とします。 については、図1などでしっかりイ…

定義 3.6 つの集合 が与えられ、 のどの要素に対しても、それぞれ の要素が一意的に(=ただ1つ)対応しているとき、この対応関係を から への写像という。集合 から集合 への写像を とするとき、 を の定義域、 を の終域という。また、各 に対応する の要素を で表し、 による の像または値という。この をで表す。定義 3.9 つの写像 と が同じ写像であるとは、 かつ であって要素の対応の仕方が同じ、すなわち、が成り立つことをいう。このとき 、 と書く。定義 3.10 写像 に対し、直積集合 の部分集合を のグラフという。定義 3.11 集合 と、 つの写像が与えられたとする。各 を によ…

定義 3.1 つの集合 に対して、次のように定める。ここで、 は、 の要素 の後に の要素 を並べて作った組である。 集合 を と の直背集合または単に直積という。直線集合 を と書く。 直積集合の要素 に対し、 をその第 座標、 をその第 座標という。定義 3.4 個の集合 に対して、それらの直積集合をによって定める。ここで、 は、各 について、集合 から要素 を つずつ選び、それらを順に並べて作った組である。直積集合 を、と表すこともできる。特に、 のとき、この直積集合を で表す。直積集合の要素 と各 に対し、 をその第 座標という。 参考文献 はじめての集合と位相 p25-p28

定義 1.14 つの集合 に対して、次のように定める。集合 を と の和集合、 を と の共通部分という。註 1.15 定義より、次の が成立する。 命題 1.16 集合演算の基本性質1 (べき等法則) (交換法則) (結合法則) (結合法則) (分配法則) (分配法則)定義 の については直感的に理解できると思うので、 に関して、証明しておきます。(の証明が分かれば はわかると思うので省略します。) 定義 の の証明 任意の について、したがって、 定義 1.17 つの集合 に対して、次のように定める。集合 を から を引いた集合を差集合という。差集合は とも表します。 参考文献 はじめての…

記事の趣旨 本記事は前回の記事の続編である。連続体濃度 と最小の非可算基数 との関係について論ずる。 注意 この記事においては、基本的に ZF 公理系を採用する。またこの記事は Loren J. Halbeisen "Combinatorial Set Theory - With a Gentle Introduction to Forcing" の 4 章を大きく参考にしている。 準備 定義 1 基数 について、 とは、 から への全射が存在することをいう。 補題 2 基数 について、 ならば である。 証明 濃度 を持つ集合 を取ると、ある単射 が存在することがいえる。このとき の像に含ま…

記事の趣旨 ZFC 集合論と ZF 集合論のあいだのもっとも大きな相違点は、まさしく選択公理の存在にある。選択公理は ZF 集合論の視点に立てば、非常に強力な主張として観察される。実際的に我々がしばしば数学を行うにあたって、ZF 集合論上選択公理と同値な命題(Zorn's lemma, 整列可能定理などが有名である)を援用して議論を展開することが多々ある以上、ZFC 集合論に習熟してしまい、逆説的に、選択公理を排除した状況でどの程度までの主張が成立するのかということについて不明になってしまうこともある。そこで ZF 集合論上での基数の基本的性質を調べていきたいと思う。 本記事においては散発的に…

１. はじめに およそ、科学はありとあらゆる教条主義とは無縁である。数学も亦然り、集合論の創始者カントールも“数学の本質は、その自由性にあり”と述べている。たしかに数学は過去の既成概念を打ち破ることによって発達してきた。 算数教育も全く同じことが言えると思う。ところが、算数教育の現状は、この教条主義という病根が根づよくはびこっている。 主体的人間の育成ということが強調されている今日、この算数教育に於ける教条主義の克服は緊急な課題である。 ２. 算数教育の現状 数学といえば、演繹的な思考こそその本領であるという考え方がある。しかし、小学校の子どもにいきなりそれを期待しても、無理であることはこれま…

以前，次のような記事を書いた． sokrates7chaos.hatenablog.comこのブログのアクセス先の１割を占める程度には人気があるらしい*1．だが，書いてから時間が立ちすぎてしまい，また，その間にもさまざまな新しい本が出てきたこともあり，少し手直しをしたいと考えるようになってきた．そんなわけで，この記事はそのリバイバル版である．リバイバルにあたって，まずリストの範囲を論理学とその周辺領域の本全体に拡大することにした．また，現在手に入りにくくなった本などはリストから外すことにした．この記事にあげる本は，何らかの形でわたし自身が手に取ったことのあるもの(読んだとは言っていない)に限定…

詭弁、誤謬一覧 【注意】 ・以下は、wikipediaの記事「詭弁」を参考に平易に言い換え、分類したうえで例文と考えられる反論を加筆したものである。例文作成にあたり本文書作成者による誤解などで不適切な例文が生まれた可能性があるため注意。学術的な正確性や網羅性を期したものではなく、砕けた表現についても目を瞑っていただけたら幸いである。尚、一部の項目では発言者に差別主義者や陰謀論者を想定したため例文に差別的な表現が含まれている。また、例文やその反対は必ずしも記事作者の意見を表すものではない。 ・譲渡、転載、改変などは制限しないが上記の点に留意し、あくまで参考にとどめること。あくまで、あくまで参考に…

第二の「ミライトワ」 先月投稿した記事の要旨です。 『東京五輪2020のマスコットの愛称に、おバカな選考委員が「ミライトワ」という珍奇な名称を付けたため、そのマスコットのぬいぐるみなどのグッズは不評で未だに大量の在庫を抱えている』 （記事のリンク）→五輪マスコットの金メダルは? - こに〜 の ざれごと そして、帰省の途上に第二の「ミライトワ」を発見しました。 懐かしのE電です。 「Ｅ電」をご存じない方に説明しておきます。 『E電（イーでん）とは、1987年（昭和62年）の日本国有鉄道（国鉄）分割民営化に伴い、「国鉄（近郊区間の）電車」の略称である「国電（こくでん）」に代わるものとして、東日本…

[数論]高木貞治『初等整数論講義 第二版』第五章ノート その15 .ind { margin-left: 2em; line-height: 2.0; } 最近はめっきり更新間隔がでたらめだが、これは実は次に読もうと思う数学書を物色しているうちにそっちに読み始めてしまっているという単純な理由である。二次体という具体的なものを一生懸命やった反動で反対方向に振れてしまって JechのSet Theoryという太い本に手をだしている。公理論的集合論はいままで何度かトライしてみたことがあるのだが、あまり先に進めないまま挫折してきた。途中で証明のロジックのツボがわからなくなってしまうのである（そういうと…

近年、経営学の分野で、質的比較分析(QCA)を用いた研究が徐々に増えている。しかし、それらの研究で行われている分析がそもそも何をやっているのか、そしてなぜ「質的比較分析」というのか、直感的には分かりにくい。質的研究と言っても、集合論やブール代数などかなり数学的であるし、そもそも数字を使って分析する。であるから、数量的研究といった方が良いのではないかと思うかもしれない。質的比較研究は、質的研究と数量的研究の中間のようなものだという人もいる。今回は、質的比較研究の意味を直感的にわかるよう、Oana, Schneider, & Thomann (2021)の記述を参考に説明を試みる。 まず、数量的研…

“無限”は20世紀最大のテーマのひとつである．20世紀前半の激動の時代にポーランドの数学者たちは“無限”に出会い，新しい数学を創造した．これは数学史上ふしぎな出来事である．“無限”をめぐる感動のドラマ――． 本書の副題は，草稿の段階では「20世紀数学の断層」というものだった．20世紀の前半と後半では，明らかに数学の関心に不連続性が断層として認められるからである．ポーランドが念願の独立を果たした1918年，さらに2つの世界大戦に挟まれた1930年代，つかのまの主権を獲得したポーランド"固有の文化"確立に向け，不断の努力を続けた人たち． ワルシャワとルヴフを拠点に，集合論，実変数関数論（実関数論）…

田村(2015)によれば、経営学の主たる目的は経営事象にまつわる因果関係の解明であるが、経営学で明らかにしたいような法則性というのは、自然法則のような普遍法則ではない。まず、対象となる因果関係が該当する場所と時間の制約があり、その妥当性も短時間で変化する。例えば、昨日まで成功を導いたやり方が今日は失敗のもとになるということが起こりうる。であるから、経営学というのは、多くの自然科学のような普遍法則を探求する科学ではなく、頻繁で急速な技術革新や市場の変化などによって比較的短時間のあいだに経営を成功に導く因果関係といった経営法則が変わっていくことを前提とする「法則の変化」を追求する科学だと田村は主張…

現在２０２２年７月１５日１６時２２分である。（この投稿は、ほぼ７９３３文字）麻友「７月１１日から、少しブランクあったわね」私「戦友の富岡さんと、『熱力学』のゼミを始めた。１週間あったけど、２７ページも予習するのは、結構大変だった」熱力学―現代的な視点から (新物理学シリーズ)作者:田崎 晴明培風館Amazon若菜「第１回目は、なんとかなったのですか？」私「私は、本文読むだけで、限界だった。問題を解く余裕は、なかった」結弦「富岡さんは、問題も解いてきたの？」私「うん。向こうは、私以外とも、ゼミやってるようで、勉強のペースが、速いんだ。いつも、私が、遅れて遅れて、ゼミが駄目になるということばかり」…

以下の投稿について「全盛期Tumbr(2010年代前半)において、ここでいうアドレナリン理論とくすぐり理論が当時支配的だった二大巨頭といえるか？」という質問を受けました。

政治に関してはノーコメントで。 闇断ちは徹底してるんだけど、どうやらさ、いや、前に文学に開眼する前から実は凄く文学的な映画が好きだったから元々文学的なものや文学的な表現が好きだったんだってことが後になって分かったって書いたけどさ、ブランショの思想を読み解いていくと小説と物語の対比ってわけじゃないんだけどさ、ロマンとレシってやつですよ。 なるほどねーってのが小説ってのは物事が起こるまでの過程を色々と描くってことで、物語ってのは物事が起こっているそのものってことなんだけど、ブランショ自身の文芸作品は最初はロマンだったんだけどレシに変わっていったってのが、自分の表現形体がそれに合っていたからってこと…

はじめに 導入 定義など 文記号、文結合記号 真理値割り当て 健全性、完全性 おわりに おまけ 参考文献 はじめに こんにちは、かまあげです。うだるような暑さですね。私も茹ってしまいそうです。かまあげだけに。 数学基礎論についてはどのようなイメージをお持ちでしょうか。なんか「不完全性定理」がどうとか、「メタ数学」がどうとか、なんか断片的に聞いたことがあるのではないでしょうか。 「不完全性定理に矛盾するので神は存在しない！！！！！！！」とかいうよくわからない主張(？)を見たことがある人もいるかもしれません。これについては諸般の事情によって触れないことにします。なんか怖いし... あと、一応この記…