集合論

とする．このとき i.e. i.e. であるから と成る．そして反射的閉包の性質から であるので でもある．これより，たとえば を考えると と表示される．

とする．このとき記号に対して と置きこの記号の内包は i.e. である．これより i.e. と表示する．このように表された記号をからへの写像と呼ぶ．とくにとがパラメタのとき - という． 例 が全射でないことを示す． を考える．を考察する． そのために を調べる． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 このとき，に対して であるから，は存在記号に束縛されていることがわかる．したがって，この仮定は前提(1)に反するので妥当でない．したがっては全射でない．

とする． 判断 (証明の方針) を示せば，反射的閉包の性質によりがいえる．それゆえ を示す． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 (3)は(2)の条件をみたすのでこの仮定は妥当である． 1 (4) 2-3. ⇒-導入 1 (5) 4. ∀-導入 判断 (証明の方針) 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 (2)はとの共通元はの元と共通である．すなわちは共通元をもつ． (3)はの元はとの共通元に共通である，これは(2)に反しない．したがって，(3)の仮定は妥当である． 1 (4) 1 (5) 4. ∀-導入 交換律 (証明の方針) 1 (1)…

とする．このときととの共通部分とは である． の証明 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 i.e. しかし，空集合の性質はであるから，ととに共通の元は無い(共通性は無い)． 1 (3) 2. 1 (4) 3. ∀-導入

連言の言い換え 対象言語 メタ言語 の元すべてはに属するが，の元すべてにはに属さないものがある． A∩BやA∪Bとは何か？ - 情報統合思念体への手紙 上の記事により連言をの記号に置き換える．このとき ① の元すべてはに属する i.e. ② の元すべてはAの元すべてではない i.e. に対して①←→②が真部分集合の意義である． の意義 この←→は同値の意味で使われることが多いが，これからは共通部分のことを表すとする．すなわち，とはとには共通性がある，ということを表示する記号である．これより ⇒：条件法 ←→：共通性 と区別する． 例 に属さないようなの元全体の集合

主張 空でない帰納的半順序集合は極大元を有する． (証明の方針) ① i.e. 1つの元 ② 1つの集合 ③ < ：半順序集合 ④ i.e. < < ⑤ i.e. 1つの元 ⑥ i.e. とする．このときが極大元すなわち となるようなをもつことを示す．そのために，反射的閉包及び非反射的閉包を考える． 閉包 関係 < このとき，に対して < より i.e. であるから を示せばよい．条件より，が存在するのでについて，反射的閉包の性質から を得る．したがって，は極大元をもつ．

とする．このとき が全単射であること を示す． (証明の方針) 関数のかたち とする． ① が全射であること ② が単射であること ①について を示したい．そのために を示せば十分である．また，関数のかたちに注視すると でありは加法で閉じているから と書けるのでと置くことができる．☆ これより をいう． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 ☆によりこの仮定は妥当である． 1 (4) 2-3. →-導入 1 (5) ②について () を示す．を仮定する．関数についての値を s.t. と選び と表示すれば，写像の一意性と仮定からを得る． 以上よりは全単射である．

もう4月なの非自明すぎる。誰だよ春を告げたの。…ということで、入学の季節ですね。私はもう、大学の数学科を卒業してまあまあ時が経っているのですが、大学で学んだことは大切にしていきたいと思っております。 さて、今日は$\varepsilon$-$\delta$論法（イプシロン-デルタ論法）について書こうと思います。 $\varepsilon$-$\delta$論法は関数の連続性や収束を厳密に記述するときに登場し、多くの学生が躓くと言われています。かく言う私もちゃんと理解するのにかなり時間がかかった記憶があります。今日は私が$\varepsilon$-$\delta$論法を初めて学んだときの疑問や感…

大谷翔平の「黒閃」 瀬山士郎「集合と位相／数学はいかに“無限”を数えたのか」 五条悟の呪詞 ▶ 今週号のジャンプの「黒閃」の補足説明の正拳突きの図解で、ようやくベストセラーの仕組みがわかってモヤモヤが晴れた。 （上記「集合と位相」P.197より引用） そもそも無限とは「数え切れないほどたくさんある」ことでしかなかったのですが、カントールの集合論によって、我々はその二つの無限を比較する手段を得たのでした。その手がかりが「人がものの個数を数えること」というまったく基本的な行為の中にあったことは不思議ではありません。要するに個数を数えるとは、「数詞の集合」と「数えようとする集合」とを比較することなの…

2024年3月22日に『PPL 2024 非公式ふりかえり会』を開催しました。イベントでお話した内容を文字起こし形式で紹介します。 hey.connpass.com なぜPPLに協賛したのか、協賛してみてどうだったのか 藤村：まず自己紹介から始めます。STORES でCTOをやっている藤村です。PPLには今回初めて参加しました。 笹田：笹田です。プログラミング言語 Rubyのインタープリタの開発を STORES でフルタイムでやっています。プログラミング言語に関する学会ということで、PPLは3回目の出席でした。今回は STORES に転職したというのもあって、顔見せも兼ねて発表させていただきま…

現在２０２４年４月１０日２０時１１分である。（この投稿は、ほぼ１４１２文字）麻友「随分、久し振りねえ。『現代論理学』なんて、現代論理学〔新装版〕作者:安井 邦夫世界思想社Amazon去年の終わりくらい以来よ」私「余りに難しい本ならともかく、自分が興味のある分野の、目標としている本は、いつも身近に置いておくのは、当然として、１、２度は、最後まで読んでおくべきだと、ツクヅク思った」若菜「『現代論理学』は、お父さんに取って、そういう本なのですね」私「本当は、もう少し難しい本も、読んでおけば良かったかな？ とも、思ったけど」結弦「例えば？」私「和書では、数学基礎論 増補版作者:新井 敏康東京大学出版会…

-の公理 i.e. とする．このとき (1) (2) (3) (4) と置く．より -という(P∧Qは公理) -加群の意義 とする．このとき (1) (2) (3) (4) が成立する．なぜなら，は環であるので(左)-加群の公理をみたすから．これより，を-加群ということができる． 部分加群の意義 -加群 (-) とする．このときパラメタに対して と置けばより ということができる． ☆補足 の意味については条件とを合わせたものである．すなわち ① に対して i.e. が成立するときである．も同様にして ② について が成り立つ場合である．但し，この方法は循環的なのでうそつき村問題が潜んでいる．も…

因果複雑性の経営学では、主に集合論に基づく数学的発想を用いることで、何と何が組み合わさるとどうなるのかといったように、結合性、等値性、因果非対称性などに注意を向けるアプローチであることを説明してきた。その中でもとりわけ注目を浴びる結合性や等値性は、主にある要素が結果をもたらすための十分条件を扱うものである。十分条件は、要素の単一もしくは組み合わせが生じれば必ず結果を生み出すというもので、これは必ずしも１通りとは限らないことが等値性のポイントである。しかし、結果を生み出すもう１つの条件である「必要条件」は、因果複雑性の考えの中でも非常にドラマチックである。なぜならば、その条件が欠けると、結果が一…

CTO 藤村がホストするPodcast、論より動くもの.fmの第28回を公開しました。今回は STORES のエンジニア yubrotと言語の副作用や第26回プログラミングおよびプログラミング言語ワークショップ（PPL 2024）の感想について話しました。 論より動くもの.fmはSpotifyとApple Podcastで配信しています。フォローしていただくと、新エピソード公開時には自動で配信されますので、ぜひフォローしてください。 podcasters.spotify.com テキストで読みたい方は下記からご覧ください。 副作用はあった方がいいのか、ない方がいいのか 藤村：こんにちは、論より…

写像と同値類 ChatGPTでブログの記事を分析したものを書いてもらうというのはなかなか難しそうなので、ChatGPTでいろいろやりとりしながら、それを参考に記事の内容をまとめてみることにします。まず写像と同値類の関係についてまとめてみます。「群論の計算」の「写像による分類」(さらにその後の「写像の計算」) 群論の計算(2) - エレファント・ビジュアライザー調査記録 群論の計算(3) - エレファント・ビジュアライザー調査記録 の項目では何をやっているのかというと、「準同型定理」のようなものを「写像の理論を使って書く」ための準備をやっています。「準同型定理」はもともと写像で書かれているので、…

半環について Prolog のプログラムは論理式と解釈できます。論理式の全体は分配束となります。分配束は(単位元の存在などを無視すると)半環となります。このブログでは Prolog のプログラムを半環を使って調べています。分配束を使って調べても良いのですが、半環は環と同様のことが成り立つことがあって考えやすいので半環を使っています。いくつかの入力とそれに対する答えです。 半環の定義を教えてください 半環（Semiring）は、代数構造の一種であり、加法と乗法を持ち、それぞれに対して加法単位元と乗法単位元を持つ非常に基本的な構造です。以下に、半環の定義を示します。半環は、以下の条件を満たす二項演…

自分が勉強した本まとめ 数学科の学生だった私が、IT 業界に就職して機械学習エンジニアになった中で思い入れのある本や面白かった本などの紹介を書いていきます。 ジャンルとしては数学・統計・機械学習あたりをメインに、一部は物理やエンジニアやクラウド関連の書籍も紹介できればと思います。 学生時代の本（主に数学科の基礎的な本） 微分積分学（数学シリーズ） 難波誠 裳華房 微分積分学 (数学シリーズ) (数学シリ-ズ) 作者:難波 誠 裳華房 Amazon 最初に紹介する本は、難波誠先生の微分積分学。 大学の指定教科書だった。当時は、ε-δ に初めて出会い（最初は ε-N からだが）、その厳密さに大変感…

とする．このときを展開せよ． (解答) 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1 (3) 1. ∀-除去 2 (4) 2. ∀-除去 (5) =-導入 (6) =-導入 (7) 3-5. ⇒-導入 (8) 4-6. ⇒-導入 (9) =-導入 (10) ∀-導入 ゆえに が成立する．▢ ☆補足 物理学や素朴集合論のことを考えるとが何処に属するのか，ということは無視した方がよい気もする．たとえば，古典力学で集合の明示はないし，ラッセルのパラドックスのような問題もあるから．とくに時間はどのような集合で表されるのか，という問題があるだろう．

戦略論におけるビジネスモデル研究を、因果複雑性の経営学の考え方に従って行ったのがLeppänen, George, & Alexy (2023)である。前編では、Leppänenらが、ビジネスモデルを構成する性質やその他の要素がどのように組み合わさることで企業業績を高めるのか、あるいは高めないのかについて、結合性、等値性、非対称性を考慮した構成論アプローチによって理論展開と仮説導出を行ったプロセスを解説した。とりわけ社会科学では理論構築だけでなくその妥当性を実証研究で示していくことが求められるため、因果複雑性の経営学を用いなければこのようなアプローチは不可能であるといってもよい。ビジネスモデル…