ヤコビアン


積分の式¥large ¥int_0 ^1 f(x)dxを直感的イメージで説明すると(厳密さはひとまず置く)、積分区間をdxという小さい区間で等間隔に区切り、各区間の微小面積f(x)dx を合計する、ということになる。この式で y=x^2 という変数変換をして積分をyの式で表すことを考える。変数x を幅dx で等間隔に刻んだ場合、dy = 2 x dx =2 ¥sqrt{y} dxであるから、y軸上での微小区間 dy は x 軸上で不均一に伸び縮みする。積分ではこれを考慮して ¥large ¥int_0^1 f(¥sqrt{y})¥frac{dy}{2¥sqrt{y}}となる。二次元三次元では元の空間での微小正方形や微小立方体平行四辺形や平行六面体に変形するが、同様にこの面積や体積の伸び縮みを評価して積分を計算する必要がある。変数x1・・・xn を変数y1・・・yn へ変換した場合、¥large ¥frac{¥partial y_i}{¥partial x_j}をij成分として持つ行列の行列式が、変形後の微小要素の面積や体積を与える。これをヤコビアンと呼ぶ。

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