線形空間

虚空間とノルム空間について補足虚空間とは「釈迦」の思想の「虚空」に「宇宙空間」の「間」を付けた造語です。「ノルム空間」とは数学上の仮想空間です。数学上でℕは自然数全体の集合、ℤは整数全体の集合、ℚは有理数全体の集合、ℂは複素数全体の集合を表す。また、記号≤は、≦とは同じものであり、=と<を示す。|ｚ|は、複素数の絶対値を、𝐼m𝑧は、複素数の虚部を示す。次に論理記号→は、含意を、⇔は、同等を示している。集合を表す記号∈は、要素が集合に属することを表している。さらに「スカラー」とは整数量であり「ベクトル」とはスカラー量に方向を与えた力を表す。ここでは論じられないが、{𝑥|𝑓(𝑥)}は条件𝑓(𝑥)を…

先日、博士（情報学）になりました。学部と大学院をあわせた 9 年間で読んだ情報科学関連の教科書・専門書を思い出を振り返りつつここにまとめます。私は授業はあまり聞かずに独学するタイプだったので、ここに挙げた書籍を通読すれば、大学に通わなくてもおおよそ情報学博士ほどの知識は身につくものと思われます。ただし、特に大学院で重要となる論文を読み書きすることについては本稿には含めておりません。それらについては論文読みの日課についてや論文の書き方などを参考にしてください。 joisino.hatenablog.com 凡例：（半端）とは、数章だけ読んだ場合か、最後まで読んだものの理解が浅く、今となっては薄ぼ…

画像生成AIはほとんど"共産主義"だ。2022年の夏から(本当は、もっと前からそこにいたのだけれど)インターネットを徘徊し始めたこの妖怪の理論的な仕組みでさえも理解している人間はそう多くないのだけれど、何やら大きな力を、いくつかの権益を永久に破壊し、昨日まで生きていた世界を否応なしに過去にしてしまうような力を持っていること、しかもその力は凡そ社会の最底辺にしか見えなかったクズどもにも分け与えられてしまうらしいぞ、ということを大体の人々がわかっているために、みんながみんな銘々勝手に床屋政談をやるネタになっている。実に好ましい状況だ！彼らが本当に画像生成AIのことを理解しているんなら、闊達な議論が…

前提 線形独立、線形従属を理解していること 線形空間、基底、行列のrankについて知ってるとなお良いです。 本記事ではxor基底についてコスパよく理解させることが目標です。 もっと厳密に学びたい方はこちらなど。 qiita.com 問題 この問題に沿ってxor基底を学びます。 atcoder.jp 数列Aの要素を組み合わせてXORを計算し、できあがるものを集合にします。集合で小さい順にL番目からR番目まで列挙するという問題です。 解法の方針とXOR基底 L, Rについてはこういう問題にありがちな上のビットから順番に考える二分探索を使いますが、本記事では述べないことにします。 実は、できあがる集…

基本編 ラプラシアン編 座標変換編 テンソル編 基本的な計算 テンソルを使ってベクトル解析 テンソル小話 文献 基本編ベクトル解析の公式は，慣れるととその場ですぐに計算できるようになります．第$i$成分を計算する方法をマスターしましょう． 外積の計算は「完全反対称テンソル（レビ・チビタ記号，エディントンのイプシロン）の縮約公式」を理解すると簡単にできるようになります． 流体力学・電磁気学・量子力学では積分公式をよく使います． ダイアドの計算も，よく出てきます． これは公式集に頼ることが多いかもしれません． ラプラシアン編調べてしまうことが多いかもしれませんが，極座標や円筒座標のラプラシアンを簡…

導入 何らかの議論をするときに、アナロジー、例え話をして説得力を持たせるテクニックは広く使われている。 故事成語のもととなった寓話などがその代表である。 例え話による議論では、もとの複雑で想像が難しいシチュエーションAを、理解しやすいシチュエーションBに"投影"し、シチュエーションBの中での議論を行い、そこで出た結論を元のシチュエーションAに引き戻して当てはめる、ということが行われる。 例え話は一見非常に説得力のある議論ができるが、そこには落とし穴がある。 騙されない、あるいは騙してしまわないよう、気を付けなければならない。 本記事では、例え話の問題点について見ていく。 準同型 突然話題が変わ…

現在２０２３年１１月８日１９時４７分である。（この投稿は、ほぼ２４３８文字）麻友「太郎さん。古いもの使うの、上手ね」私「何のことだい？」麻友「ヒューレットパッカードのパソコンのキーボード、壊れたと言いながら、６年前に買った、ロジクールのキーボードで、澄ました顔で、ブログ打っている。太郎さんに取って、ブログが書ければ、それで、良いのよね」私「それは、私の心臓に、ぐさりと刺さる言葉だぞ」若菜「ブログが書ければ、それでいい。確かに、お父さんは、お母さんに会える日を、ひたすら願いながら、このブログを、書いているのに」結弦「この『１から始める数学』のブログまで、再生させている。このブログの役目は、お父さ…

これも研究のいい面。空気になりたい凡人です。 始めのアイデアは失敗したけど発想自体が良かったのか少し概念の構造が簡単な加群に落とすとうまくいっている。それにイデアルに制限しても問題ないためこのまま積み上げていきたいな。線形空間だとすごくきれいになったし、全然無駄と言うわけでもなさそう。 現場からは以上です。 今日のやつ 次元1の局所環 次元0の局所環は素イデアルがただ一つしか存在しない。次元1の場合は2つの素イデアルで全順序（普通の素イデアルと極大イデアル）になっている。

一年次後期に履修した下記の7.解析学基礎から12.プログラミング基礎Ⅱまで記しておこうと思います。 ↑一年後期で私が受けた講義たちです。 7. 解析学基礎 高校で微分積分を勉強していた人なら楽勝だと思います。例えば新しい話であるマクローリン展開など、名前だけ見れば厳ついですが、テストでは演習問題を解けるようになっていれば大丈夫だと思います。 クラスによるかもしれませんが、証明問題などは講義内でやらなかったのならテストでも出題されないと思います。重要だからテストで出すよ、とあらかじめ宣言された証明問題は覚えておいた方が良いです。その場合も、細かい表現の差異は気にせず、流れをきちんと説明できていれ…

証明に使う概念の定義をしていきます 表現と既約表現 群 から(ここでは )線形空間 上の一般線形群 への群準同型写像 があるとき組 を群 の表現という また, の部分空間 が , ()を満たす時 は不変部分空間であるといい, 以外に不変部分空間が存在しない時, 表現は既約であるという 指標と既約指標 を有限群 の有限次元表現( が有限次元である表現)とする.次で定まる 上の関数 を表現 の指標という , () また, 既約表現の指標を既約指標という 類関数 群 上の 値関数 は次を満たすとき類関数という , () 指標はトレースの巡回性から類関数です 類関数の空間 上の類関数全体のなす空間を …

目次 はじめに 線形空間、基底、次元とは何か Pythonでの基底の計算方法 Pythonでの次元の計算方法 まとめ 1. はじめに 本ブログでは、「線形空間」、「基底」および「次元」という数学的な概念について説明し、それらをPythonでどう実装するかを具体的なコード例を通して解説します。 2. 線形空間、基底、次元とは何か 線形空間 線形空間（またはベクトル空間）とは、スカラー倍や加法に関して閉じているベクトルの集合です。これらの操作が適用された結果も同じ線形空間内に存在します。 基底 線形空間の任意の要素がその基底ベクトルをスカラー倍したものを足し合わせること（すなわち、一次結合）で表現…