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被積分関数

サイエンス

被積分関数

ひせきぶんかんすう

積分される関数のこと.不定積分 ¥int f(x)¥,dx であれば,f(x)被積分関数である.

原始関数を求める際,被積分関数の形のわずかな変化で方針が大きく異なることがある.

被積分関数の分母が 2 次式であるような場合を考える.このとき,分母の式が 1 だけ違うだけで,積分の方針が大きく変わることがある.

  • 分母が x^2+4x+3 のとき

 分母は簡単な形に因数分解ができる.そこでこれを部分分数に分解して,個々に積分する.

  ¥begin{eqnarray} ¥int ¥frac{dx}{x^2+4x+3} &=& ¥int ¥frac{dx}{(x+1)(x+3)} ¥¥ &=& ¥frac12 ¥int ¥(¥frac1{x+1}-¥frac1{x+3}¥)¥,dx ¥¥ &=& ¥frac12 ¥log¥|¥frac{x+1}{x+3}¥|+C ¥end{eqnarray}

  • 分母が x^2+4x+4 のとき

 分母は x+2 の平方である.

  ¥int ¥frac{dx}{x^2+4x+4}=¥int ¥frac{dx}{(x+2)^2}=-¥frac1{x+2}+C

  • 分母が x^2+4x+5 のとき

 分母が実数の根をもたない.

  ¥int ¥frac{dx}{x^2+4x+5} = ¥int ¥frac{dx}{(x+2)^2 +1}

 ここで x+2=t とおく.dt=dx であり,

  ¥begin{eqnarray} ¥int ¥frac{dx}{(x+2)^2 +1} &=& ¥int ¥frac{dt}{t^2 +1} ¥¥ &=& ¥tan^{-1}t+C ¥¥ &=& ¥tan^{-1}(x+2)+C ¥end{eqnarray}