被積分関数

被積分関数

(サイエンス)
ひせきぶんかんすう

積分される関数のこと.不定積分 \int f(x)\,dx であれば,f(x) が被積分関数である.
原始関数を求める際,被積分関数の形のわずかな変化で方針が大きく異なることがある.

被積分関数の分母が 2 次式であるような場合を考える.このとき,分母の式が 1 だけ違うだけで,積分の方針が大きく変わることがある.

  • 分母が x^2+4x+3 のとき

 分母は簡単な形に因数分解ができる.そこでこれを部分分数に分解して,個々に積分する.
  \begin{eqnarray} \int \frac{dx}{x^2+4x+3} &=& \int \frac{dx}{(x+1)(x+3)} \\ &=& \frac12 \int \(\frac1{x+1}-\frac1{x+3}\)\,dx \\ &=& \frac12 \log\|\frac{x+1}{x+3}\|+C \end{eqnarray}

  • 分母が x^2+4x+4 のとき

 分母は x+2 の平方である.
  \int \frac{dx}{x^2+4x+4}=\int \frac{dx}{(x+2)^2}=-\frac1{x+2}+C

  • 分母が x^2+4x+5 のとき

 分母が実数の根をもたない.
  \int \frac{dx}{x^2+4x+5} = \int \frac{dx}{(x+2)^2 +1}
 ここで x+2=t とおく.dt=dx であり,
  \begin{eqnarray} \int \frac{dx}{(x+2)^2 +1} &=& \int \frac{dt}{t^2 +1} \\ &=& \tan^{-1}t+C \\ &=& \tan^{-1}(x+2)+C \end{eqnarray}

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