境界付きアルファベット

マンダラ仮説の定式化であるマンダラな圏を考えている。で、全体的なことは後で書くが、とりあえずアルファベットの概念。妥協の産物ではあるが、使い勝手は悪くない。

A, Bなどは、状態空間の境界、つまり始状態の集合＝始境界（initial boundary）と終状態の集合＝終境界（final boundary）を表すと思う。実際には、境界の連結成分の集合と考えたほうがいいが、今は気にしない。記号の集合Σに、AとBの要素でインデックスされた部分集合族がある。

1. Σ^-[a] a∈A
2. Σ⁺[b] b∈B

Σ^-:A→Pow(Σ)、Σ^-:B→Pow(Σ)。Σ^-[a]に属する記号は、aからの開始記号（starting symbol）、Σ⁺[b]に属する記号は、bへの終了記号（terminating symbol）と呼ぶ。そして、

• Σ[a, b] = (Σ^-[a])∩(Σ⁺[b])

とする。s∈Σ[a, b]のとき、記号sはaからbに到達可能（可達）と呼ぶ。

(Σ, A, B, Σ^-, Σ⁺)が、上の状況の時、Σ:A→B と書く。
Σ=(Σ, A, B, Σ^-, Σ⁺)は、AからBへの境界付きアルファベットと呼ぶ。この記法から連想されるように、境界付きアルファベットΣはある種の射だと考える。ただし、すぐさま圏を構成する必要はない。

直和、直積、結合

Σ:A→B、Γ:C→D として、Σ+Γ:A+C→B+D と Σ×Γ:A×C→B×D は自明に定義できる。Σ:A→B、Γ:B→Cのとき、結合Σ;Γが問題になる。

b∈Bに対して、s∈Σ⁺[b]であり、かつ t∈Γ^-[b] のとけだけ連接stを作る。そうやって作られた連接の全体をΣ#Γとする。

Δ = (Δ、A, C, Δ^-, Δ⁺)を次のように定義する。

1. 集合として、Δ=Σ+Γ+Σ#Γ
2. a∈Aに対して、s∈Σなら s∈Δ^-[a] ⇔ s∈Σ^-[a]
3. a∈Aに対して、t∈Γなら t∈Δ^-[a] ということはない。
4. a∈Aに対して、st∈Σ#Γなら st∈Δ^-[a] ⇔ s∈Σ^-[a]
5. c∈Cに対して、s∈Σなら s∈Δ⁺[c] ということはない。
6. c∈Cに対して、t∈Γなら t∈Δ⁺[c] ⇔ t∈Γ⁺[c]
7. c∈Cに対して、st∈Σ#Γなら st∈Δ⁺[c] ⇔ t∈Γ⁺[c]

結合演算「;」は、このままでは圏の結合にはならないが、とりあえずはいいとする。

境界付きアルファベットの準同型

Σ:A→BとΓ:C→D があるとき、f:A→C、g:B→D、φ:Σ→Γ は集合の写像で次を満たすとする。

1. s∈Σ^-[a] ならば φ(s)∈Σ^-[f(a)]
2. s∈Σ⁺[b] ならば φ(s)∈Σ⁺[g(b)]

このとき、(f, g, φ)を境界付きアルファベットの準同型とする。

準同型は通常の写像概念なので、その全体は圏をなす。実は二重圏を作りたい。