2008-01-08

　もう、このブログを見て下さってないと思いますが、円周率の計算に $\frac{1}{239}$ が出てくるわけをアップします。

　逆正接関数 $\tan^{-1}x$ を級数展開するとき、変数 $x$ の値が $0$ の付近では収束が早いということに着目します。 $\tan \theta$ で、 $\theta$ が $0$ の付近を考えればいいわけです。

で、だれが考えたのか、 $\tan\alpha=\frac{1}{5}$ に目を付けると、 $\alpha$ が約１１度。
正確には11.30993247402021308647450543834度で、これを４倍すると
45.23972989608085234589802175336度ということで４５度（ $\frac{\pi}{4}$ ）に大変近くなります。
そこで、 $4\alpha-\frac{\pi}{4}$ という角度は０度に非常に近い値になることがわかります。

でこの角の $\tan$ を計算します。

$\tan\left(4\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan4\alpha-\tan\frac{\pi}{4}}{1+\tan4\alpha\tan\frac{\pi}{4}}=\frac{\tan4\alpha-1}{1+\tan4\alpha}$ $\cdots\cdots$ (1)

$\tan\alpha=\frac{1}{5}$ と倍角公式より、
$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{\frac{2}{5}}{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2}=\frac{5}{12}$

$\tan4\alpha=\frac{2\tan2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{\frac{10}{12}}{1-\left(\frac{5}{12}\right)^2}=\frac{120}{119}$ $\cdots\cdots$ (2)

(1),(2)から

$\tan\left(4\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan4\alpha-\tan\frac{\pi}{4}}{1+\tan\frac{\pi}{4}\tan4\alpha}=\frac{1-\tan4\alpha}{1+\tan4\alpha}=\frac{1-\frac{120}{119}}{1+\frac{120}{119}}=\frac{1}{239}$