sin(3°)系列 - rscのブログ

　『ラングレーの問題にトドメをさす!』の内容紹介のところの問題を解こうとしましたが、前回までの解法では無理のようです。(^_^;

「四角形ABCDで∠ABD=39°, ∠DBC=24°, ∠BCA=18°, ∠ACD=57°のとき,∠BDA=15°となることを証明せよ」

　結局、
$Q=\frac{\sin\left(24^{\circ}\right)\sin\left(57^{\circ}\right)}{\sin\left(39^{\circ}\right)\sin\left(18^{\circ}\right)}=\frac{\sin\left(27^{\circ}\right)}{\sin\left(15^{\circ}\right)}$
を証明すればいいのですが、どうも式変形に役に立ちそうな公式を生成してもいいのが見つからないようです。(^_^;
　でも、よく見たら、問題に出てくる角度は3の倍数なので、無理式で表すことが出来ると思ってsin3°系列の表を作ってみましたが、計算が大変そうですね。orz

$\sin\left( 0^{\circ}\right)=0$
$\sin\left( 3^{\circ}\right)=\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-1\right)-\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{16}$
$\sin\left( 6^{\circ}\right)=\frac{-\sqrt{5}-1+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left( 9^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left(12^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{15}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left(15^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$\sin\left(18^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
$\sin\left(21^{\circ}\right)=\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}$
$\sin\left(24^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left(27^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{10}+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left(30^{\circ}\right)=\frac{1}{2}$
$\sin\left(33^{\circ}\right)=\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{16}$
$\sin\left(36^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$
$\sin\left(39^{\circ}\right)=\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+1\right)-\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}$
$\sin\left(42^{\circ}\right)=\frac{1-\sqrt{5}+\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left(45^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\left(48^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left(51^{\circ}\right)=\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}$
$\sin\left(54^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$\sin\left(57^{\circ}\right)=\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{16}$
$\sin\left(60^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\left(63^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left(66^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left(69^{\circ}\right)=\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}$
$\sin\left(72^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$
$\sin\left(75^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\sin\left(78^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left(81^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left(84^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$
$\sin\left(87^{\circ}\right)=\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{16}$
$\sin\left(90^{\circ}\right)=1$