0を下限とする分布

• こちらで0を下限とした分布について考えている
• カイ分布、カイ二乗分布は距離(非負)に関して定めた分布
• カイ分布、カイ二乗分布は正規分布に関して「距離」的に捉えたもの
• カイ分布とカイ二乗分布とは、変数x(距離)そのものを考えるか、その二乗を考えるかの違い
• 非心の分布と「正心」の分布との違いは、対応する正規分布の中心からの距離を考えるか、正規分布の中心以外からの距離を考えるかの違い
• カイ分布の確率密度関数
  • $f(x,k)=2\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} 2^{-\frac{k}{2}} x^{k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}$
• カイ二乗分布の確率密度関数
  • $F(y=x^2,k)=\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})}2^{-\frac{k}{2}}y^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}$
  • $F(y=x^2,k)=\frac{2}{2x}\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})}2^{-\frac{k}{2}}x^{k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}$
  • $F(y=x^2,k) = \frac{1}{2\sqrt{y}} f(x,k)$
• 非心カイ分布の確率密度関数
  • もととなる正規分布の中心は$x=m$
  • $g(x,k,m) = \{I_{\frac{k}{2}-1}(mx)\}(\frac{x}{m})^{\frac{k}{2}}me^{-\frac{x^2+m^2}{2}}$
    • ただし$I$はベッセル関数
      • $I_{\frac{k}{2}-1}(mx) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2}+n)n!}(-1)^n(\frac{mx}{2})^{2n+\frac{k}{2}-1}$
    • これを超幾何関数表記すると
      • $I_{\frac{k}{2}-1}(mx) = \frac{(\frac{mx}{2})^{\frac{k}{2}-1}}{\Gamma(\frac{k}{2})}\times _0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{(mx)^2}{4})$
  • したがって
  • $g(x,k,m) = 2m\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})}2^{-\frac{k}{2}} (mx)^{k-1} e^{-\frac{x^2+m^2}{2}}\times _0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{(mx)^2}{4})$
  • カイ分布の式と並べておこう
  • $f(x,k)=2\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} 2^{-\frac{k}{2}} x^{k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}$
• 非心カイ二乗分布の確率密度関数
  • 中心は$y=x^2=m^2=M$
  • ベッセル関数を用いた表記は
  • $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2}\{I_{\frac{k}{2}-1}(\sqrt{My})\}(\frac{y}{M})^{\frac{k}{4}-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y+M}{2}}$
  • $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2}\{I_{\frac{k}{2}-1}(mx)\}(\frac{x}{m})^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x^2+m^2}{2}}$
  • $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2x}\{I_{\frac{k}{2}-1}(mx)\}(\frac{x}{m})^{\frac{k}{2}}me^{-\frac{x^2+m^2}{2}}$
  • $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2\sqrt{y}} g(x,k,m)$
  • 超関数表記すると
  • $G(y=x^2,k,M=m^2) = M \frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} 2^{-\frac{k}{2}}(My)^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{y+M}{2}}\times _0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{My}{4})$
• 4つの密度関数を並べ直してみよう
  • $f(x,k)=2\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} 2^{-\frac{k}{2}} x^{k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}$
  • $F(y=x^2,k)=\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})}2^{-\frac{k}{2}}y^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}$
  • $F(y=x^2,k) = \frac{1}{2\sqrt{y}} f(x,k)$
  • $g(x,k,m) = \{I_{\frac{k}{2}-1}(mx)\}(\frac{x}{m})^{\frac{k}{2}}me^{-\frac{x^2+m^2}{2}}$
  • $g(x,k,m) = 2m\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})}2^{-\frac{k}{2}} (mx)^{k-1} e^{-\frac{x^2+m^2}{2}}\times _0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{(mx)^2}{4})$
  • $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2}\{I_{\frac{k}{2}-1}(\sqrt{My})\}(\frac{y}{M})^{\frac{k}{4}-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y+M}{2}}$
  • $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2\sqrt{y}} g(x,k,m)$
  • $G(y=x^2,k,M=m^2) = M \frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} 2^{-\frac{k}{2}}(My)^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{y+M}{2}}\times _0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{My}{4})$
  • 正心/非心カイ⇔正心/非心カイ二乗
    • $2x=2\sqrt{y}$で補正
• 正心⇔非心
  • • $_0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{x^2}{4})$で補正