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半群
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半群

(サイエンス)
【はんぐん】

空でない集合 S に対し、演算 φ : S × S ∋ (a,b) → φ(a,b) = a・b ∈ S が定められており、かつ、この演算が結合法則を満たすとき、S は半群であると言う。
位数 2 , 3 , 4 の群の同型類がそれぞれ 1 個 , 1 個 , 2 個であるのに対し、同じ位数の半群の同型・反同型を除く同型類の個数は、それぞれ 4 個 , 18 個 , 126 個であることが知られている。
逆元がないところが群と異なる。物理で使う繰り込み群は、正確には半群。
リスト::数学関連

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檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)•9日前

構文付き変換手インスティチューション 1/n

随伴系、モナド、モナドのアイレンベルク／ムーア代数、自己関手のランベック代数、ベックの分配法則などを扱っていると、こういうモノ達を系統的に組織化したい、という気持ちになります。代数的構造の組織化のためには、ゴグエン／バーストル〈Joseph Goguen, Rod Burstall〉のインスティチューションが優れたフレームワークです。が、上記のような構造を扱うには幾つかの問題があります。 抽象的過ぎる。 構文を表現する手段が貧弱。 高次元のサポートがない。 そこで、具象的で構文を表現できて高次元（当面は2次元）を扱えるインスティチューションを考えようと思い立つわけです。もう何年も前からそう思っ…

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7ブックマーク非負ッ値行列・ファクトリゼーション ～ 半群じゃないから難しくないもん！ | ADN LAB's BlogIntroduction こんにちは、k_oomoriです。今回は非負値行列因子分解 (Non-negative Matrix Factorization, 略してNMF) を用いたデータの解析について触れてみたいと思います。 まず最初に用語の定義として、「非負値行列」とは全ての要素が非負値（0以上の実数）であるような行列を指すこととします。これを用いると、NM...lab.adn-mobasia.net

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エレファント・ビジュアライザー調査記録•1ヶ月前

半群の右単位元と左単位元(5)

なかなか変数を置き換えてくれません。いったん構文を書いてもらうことにします。以下のように入力しました。 半群の等式の構文を BNF で書いてください 以下は引用です。 以下は、与えられた半群の等式の構文を BNF (Backus-Naur Form) で表現したものです。 <equation> ::= <expression> "=" <expression> <expression> ::= <element> | <element> "*" <expression> <element> ::= <variable> | <constant> <variable> ::= <uppercas…

エレファント・ビジュアライザー調査記録•1ヶ月前

半群の右単位元と左単位元(4)

ChatGPTで単純に日本語で指摘すると、ChatGPTは単に日本語を生成するだけなのでうまくいかない、というようなことが何かの本に書かれていたような気がします。そこで、何かChatGPTが知っていることをやると良いのかと思われるのでやってみたいと思います。しかしそれが何なのかはわかりません。ここではプログラムの仕様を書いてもらいます。以下のように入力しました。 半群の等式を構文解析できるようにします。半群の演算子は「*」、等号は「=」とします。半群の基本的要素は文字列とします。文字列の先頭の文字が大文字のとき変数、それ以外は定数であるとします。二つの等式を入力します。(等式Aと等式Bとします…

zawatinはてなブログ•1ヶ月前

RUPC2024 参加記

はじめに 3/23, 24に開催された立命館大学プログラミング合宿2024 RUPC2024 に参加してきました。day2の問題セットのWriter, Testerも担当しました。本記事はこれらの参加記です。 運営のRiPProの皆さん。今回は貴重な体験をすることができました。ありがとうございました！ 注意事項 問題内容のネタバレ(RUPC2024day1, day2, ABC346, ARC175)を含みますので、これからセットを解こうと思っている人は注意してください。 ですます調なのか、タメ口なのか、口調が統一されていない

エレファント・ビジュアライザー調査記録•1ヶ月前

半群の右単位元と左単位元(3)

前回は式が一致するかどうかを調べてくれなかったので、さらにやってみます。 半群の二つの等式を構文解析して、一方の等式の片側の式(両辺のうちのどちらかの式)と、もう一方の等式の片側の式(両辺のうちのどちらかの式)とが、一致するかどうかを調べます。このとき文字列の先頭の文字が大文字のとき変数であるとし、変数は任意の式と一致させることができるとします。そして一致したとき、等式の逆側の式同士を組み合わせて等式を作り、その等式を返します。このとき、変数は変数に一致した式で置き換えます。このようなプログラムを C# で書いてください 理解しました。与えられた二つの等式を構文解析して、一方の等式の片側の式と…

エレファント・ビジュアライザー調査記録•1ヶ月前

半群の右単位元と左単位元(2)

引き続きChatGPTを使ってみます。なかなかできませんけどこのブログに書いたことが意味を持つためにはできない方が良いので、気楽にやってみることができます。具体的に書いてみたらどうなるのかやってみます。以下のように入力しました。 半群の等式を構文解析できるようにします。文字列の先頭の文字が大文字のとき変数であるとします。「e_l * X = X」と「X * e_r = X」という二つの等式を入力として構文解析します。等式の左辺と右辺を入れ替えても良いものとします。変数の名前は変更しても良いものとします。こうして「e_l * X = X」と「Y = Y * e_r」という二つの等式を得ます。二つ…

エレファント・ビジュアライザー調査記録•1ヶ月前

半群の右単位元と左単位元(1)

ここではこのブログで書いたことや検討中のことをChatGPTでやってみたらどうなるかを調べることにします。もし簡単にできるようならブログを書く意味がなくなるので、やってみた方が良いと考えました。とりあえずいろいろやってみたところ、簡単にはできませんでした。しかしこれは入力が良くないのかもしれず、今はできないだけなのかもしれません。最近は入力のやり方や、何ができるのかなどが書かれた本も出ているので、少し読んでみましたが、わかりませんでした。今はまだわからないのかもしれません。証明は簡単なものであればできました。プログラムの作成はもう少し複雑なものもできました。今はビジュアルプログラミングを使う方…

滴了庵日録•2ヶ月前

モノイドふたたび

前にまとめたが、( → ノート：群・モノイド・半群・マグマ(亜群) - 滴了庵日録 ) モノイドとは、集合と二項演算について単位元が存在するやつだった。 (ただし、この二項演算はこの集合のなかで閉じていること、また結合法則をみたすこと)このようなモノイド (集合, 二項演算, 単位元) の例としてプログラミングの世界でおなじみのやつを挙げると、 (Int, +, 0) (Int, *, 1) (Bool, ||, False) (Bool, &&, True) (String, +, "") (Array, +, []) このうち、(Int, +, 0) 以外は任意の元に対する逆元が存在しない…

₍₍ (ง ˘ω˘ )ว ⁾⁾ < 暗号楽しいです•2ヶ月前

セグメント木, より一般に「区間積クエリを高速計算する方法」の圏によるモデル

TL;DR セグメント木とは, ある半開区間の圏表現$\mathbb{I}$から何らかの圏$C$への関手$F$である. セグメント木の一点・多点更新クエリとは自然変換である. セグメント木という呼称はあくまで関手の計算グラフのとり方によるものであって, Sparse Table等の(列を計算するための)手法も, 基本的には統一した観点で見ることができる. はじめに 本記事は「高速計算可能な区間クエリとはどのようなものか」へと圏論的なモデルを与える. 特にセグメント木にフォーカスしているが, [2]における議論を前提とするならば, 本記事の内容はSparse Tableや累積和にも一般化可能であ…

naoppyの日記•2ヶ月前

円と軸並行矩形の当たり判定 (Circle to AABB)

先に結論を書きます。 円を中心が (x, y) 半径 r で軸並行矩形の中心が (cx, cy) 横幅が w 縦幅が h とすると、 bool HitTestCircle2AABB(float x, float y, float r, float cx, float cy, float h, float w) { float dx = std::max(0.f, std::abs(x - cx) - w); float dy = std::max(0.f, std::abs(y - cy) - h); return dx * dx + dy * dy <= r * r; } 導出 アイデア1 …

salpikのブログ•2ヶ月前

SegmentTreeはモノイドを扱えるデータ構造という話について

TL;DR SegmentTreeはモノイドが扱えるデータ構造だという理解をしていたが、モノイドではなく半群を扱えるデータ構造だと理解した方が良いのではないかと考えている。 前提知識 半群とモノイドについて まず半群とモノイドについて整理する。 半群 結合法則を満たす群構造のことを半群と呼ぶ。結合法則とは、任意の群の要素、、について が成立することを言う。 モノイド 結合法則を満たしかつ単位元が存在する群構造のことをモノイドと呼ぶ。ある群の要素とは単位元であるとは、任意の群の要素について が成立することを言う。 すなわち、モノイドと半群の違いは単位元が存在するかどうかである。 SegmentT…

₍₍ (ง ˘ω˘ )ว ⁾⁾ < 暗号楽しいです•3ヶ月前

「セグメント木と代数構造の理論」の補遺

先日, 表題に挙げた名前で文書(というよりは論文)を公開した: https://elliptic-shiho.github.io/segtree/segtree.pdf この論文は@kimiyuki_uと私が書いたものである. 書いていたのは2019年のはじめから2021年にかけてであり, しかしその後約三年の間塩漬けとなってしまっていた. 公開にあたっての心持ちについてはPDF先頭に書いているので省略することとし, 本記事はその後読み直していて色々と思い出してきたことを書き綴っておきたい. なお, 2024年現在における新規性の有無については未検証である. もしも研究が出ているのであれば教え…

kazz の数学旅行記•3ヶ月前

最近の数学 2024/2/3

最近の数学の進捗状況. [1] ブルバキ位相線型空間 vol.2. あと4 ページで終わり. [2] ブルバキ代数フランス語版. Chapter 1, 群と半群のところは終わり. 次回からは環. [3] 岩波位相幾何学 I. s.s. 複体の間の s.s. 写像のホモトピーのところ.

katsuブログ•3ヶ月前

局所類体論使い方講座 存在定理編

今回は局所類体論の存在定理と呼ばれる局所体上のAbel拡大の分類定理の使い方と、その強さを -進数版のKronecker-Weberの定理 -進数版のKronecker-Weberの定理 を素数とする。任意の 上有限次Abel拡大は、ある自然数 が存在して に含まれる。ここで とは の原始 乗根である。 を証明することで見ていく。 目次: 局所体の定義と性質 局所類体論の存在定理 最後に 参考文献 局所体の定義と性質 この節では以下の内容について話す。 局所体の定義。 局所体 は その整数環の素元 と単数群 により という構造をしている。 局所類体論の存在定理は の指数有限開部分群と 上のAb…