半群

リントンの定理（「リントンの定理： 概要、実例、注意事項」参照）やDiag構成（「Diag構成： 圏論的構成法の包括的フレームワークとして」参照）などの話をしようとすると、話題とする対象物が大規模複雑なので、伝達が難しくなります。正確なコミュニケーション手段を確立しないと、なかなか伝わらない。過去記事「曖昧性を減らす： Diag構成を事例として」では、正確なコミュニケーション手段について書いています。 前半では、コミュニケーションにおける曖昧性、曖昧性による行き違いを減らすための原則や手法を述べます。後半では、事例としてDiag構成について述べます。 この記事も正確なコミュニケーション手段に関…

最近の記事「リントンの定理」で述べた、リントン〈Fred Linton〉による（と思われる）代数-モデル対応定理〈algebra-model correspondence theorem〉を単に「リントンの定理」と呼ぶことにします。リントンの定理の具体化のなかで一番簡単だと思われる“半群に対するリントンの定理”を実例として、リントンの定理の概要を述べます。リントンの定理周辺には、誤解を招く〈misleading | error-prone〉ことがたくさんたくさん在ります。落とし穴だらけと言っていいでしょう。なので、落とし穴に落ちないための注意事項も述べます。$` \newcommand{\ca…

こんばんは．気がつけば年末です．11月の初旬に母校に訪問したのですが，いろいろと変わっていてびっくりしました．中学からは中高一貫のコースしか無くなってしまったので，母校（中学）が消滅していましたね．少子社会の中，いろいろな変革を試みているようです．高校を卒業してからかれこれ十数年経ったにもかかわらず，お世話になった先生方の多くがまだ在職されており，久々にお会いできてよかったです．私もこのように慕われる先生になりたいものです． ＊ ＊ ＊ ＊ ＊＜これまでの進捗＞1. の稠密性がない関数空間に属する任意の（大きい）初期値に対する NS 方程式の時間局所適切性を示そうと1ヶ月くらい考えていたができ…

群論について勉強してます。 数学は苦手ですが、、大学の講義がで必要になったので 群とは、演算が定義され、それを満たす元の集合？という認識です ↑これは閉じているかの定義だね 厳密な定義は、 - Closure 閉包性を満たす - Associativity 結合則を満たす - Identity element 単位元を持つ - Inverse element 逆元を持つ らしいですね (markdownで入力してんのになんでbullet pointにならない！！誰か教えてください！) また、ある集合Ｇについて、任意の２個の元の演算（二項演算）にたいして、その集合に含まれる時、Ｇはその演算につい…

はじめまして。数学科４年のじふと申します。Twitterは@mafigure0608でやっております。 今回数物セミナーの談話会に運営様の方からお招きくださったので、せっかくだからこちらのアドカレでも書いてみようかと思います。 談話会とは？ そもそも数物セミナーには「談話会」なるイベントがあるのをご存知でしょうか？ 数物セミナーといえば合同合宿かと思いますが、実は合宿以外にも不定期に「談話会」というイベントを開催しています。談話会では、大学の教室を借りて、有志で集まった講演者によるちょっとした講演会が行われます。 コロナ明けからは１年に1回程度の開催頻度ですが、コロナ前は結構頻繁にやっていたみ…

「スケマティック〈schematic〉」という形容詞の使い方を説明します。内容： 代数構造 スケマティック系 スケマティックな構造達 代数構造典型的な代数構造である群を考えてみると、群は単位元、逆元（を対応させる写像）、二項演算〈乗法〉を持ちます。群の台集合〈underlying set〉を $`A`$ として、群の構成素を並べると：$`\quad e \in A\\ \quad i :A \to A\\ \quad m :A\times A \to A `$ 単位元は、特定された単元集合 $`\mathbf{1}`$ からの写像だとみなせるので、次のようにも書けます。$`\quad e : …

Mathematics in Lean4を読んでいます。第7章1節で環の定義のあたりを勉強しています。前回は半群、モノイド、群などを定義し、また環の定義に備えて、乗法モノイドの性質を加法群に自動変換する方法なども説明しました。 ここまでくれば環を定義することができます。 class Ring₃ (R : Type) extends AddGroup₃ R, Monoid₃ R, MulZeroClass R where /-- Multiplication is left distributive over addition -/ left_distrib : ∀ a b c : R, a *…

指標は宣言文の集まりです。各宣言文は、順番〈位置番号〉でも名前でも一意識別できます。実用上は、（順番は覚えにくいので）名前が使われます。が、理論上は名前が邪魔になることがあるので、ときに、名前を削除する必要があります。名前の削除方法の記述が意外に見つからないので、ここに記しておきます。事例で示します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\In}{ \text{ in } } \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \newcommand{\t…

有限文字列と無限文字列からなるモノイド を で生成された自由モノイドとします。演算子を とします。 の元を文字、 の元を有限の長さの文字列とみなします。 の積は 、 のとき を と包含写像からなる射影系による射影的極限とします。この元を無限の長さの文字列とみまします。 と の積 を定義することができます。、 のとき とおくと はモノイドになります。演算子を とします。、 を と同一視し、 の単位元を の単位元と同一視することによって、 は演算子 に関してモノイドになります。前回の議論のためには がモノイドである必要はなく、有限文字列と無限文字列の積が自然に定義できれば良いのですが、「積が定義さ…

このブログの目標 初期の目標 インターネット上にはユーザーが入力したものが多数ありますが、それを取り込んでプログラムをアップデートしていくことを考えます。本来はインターネット上のテキストやゲームの入力などを取り込んでほしいのですが、現在はおそらく人間がアップデートしていると考えられます。生成AIなどはありますが、それでアップデートできるかどうかは、ちょっと調べてみた限りでは不明です。これはなぜなのかという疑問を解決することが、このブログの初期の目標でした。将来AIが発展したとき人間がやることの一つの選択肢になる可能性がありますが、私はAIの専門家ではないので、このブログはこれを目標にするという…

過去記事「GAT〈ガット〉」で、次の論文に言及しました。 [Ste19-] Title: Algebraic Type Theory and Universe Hierarchies Author: Jonathan Sterling Submitted: 23 Feb 2019 Pages: 25p URL: https://arxiv.org/abs/1902.08848 6月にチラ見しただけなので、もう一度読んでみようとしたら、ド頭から読めない！ アレレ？「あっ、そういえば」と思い出しました。この論文は、型理論界隈の因習的な語法・記法を使っていて、読みやすいものではないのでした。以前、語…