被積分関数

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被積分関数

(サイエンス)

【ひせきぶんかんすう】

積分される関数のこと．不定積分 $\int f(x)\,dx$ であれば， $f(x)$ が被積分関数である．
原始関数を求める際，被積分関数の形のわずかな変化で方針が大きく異なることがある．

例

被積分関数の分母が 2 次式であるような場合を考える．このとき，分母の式が 1 だけ違うだけで，積分の方針が大きく変わることがある．

分母が $x^2+4x+3$ のとき

　分母は簡単な形に因数分解ができる．そこでこれを部分分数に分解して，個々に積分する．
　　 $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{x^2+4x+3} &=& \int \frac{dx}{(x+1)(x+3)} \\ &=& \frac12 \int $\frac1{x+1}-\frac1{x+3}$\,dx \\ &=& \frac12 \log\|\frac{x+1}{x+3}\|+C \end{eqnarray}$

分母が $x^2+4x+4$ のとき

　分母は $x+2$ の平方である．
　　 $\int \frac{dx}{x^2+4x+4}=\int \frac{dx}{(x+2)^2}=-\frac1{x+2}+C$

分母が $x^2+4x+5$ のとき

　分母が実数の根をもたない．
　　 $\int \frac{dx}{x^2+4x+5} = \int \frac{dx}{(x+2)^2 +1}$
　ここで $x+2=t$ とおく． $dt=dx$ であり，
　　 $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{(x+2)^2 +1} &=& \int \frac{dt}{t^2 +1} \\ &=& \tan^{-1}t+C \\ &=& \tan^{-1}(x+2)+C \end{eqnarray}$

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