たとえば、平面上のグラフの値がマイナスからプラスに変わるとき、またプラスからマイナスに変わるとき、かならずどこか中間で「０：ゼロ」を取るということ。方程式の実数解は、この零点になることになる。
問題.自作問題の27番, 中間値の定理を利用する問題です. 問題. 周期 の連続な周期関数 について, 以下の条件を満たす実数 が存在することを示せ.\begin{align*} (\ast)\left\{\begin{array}{ll} 0\leqq p f(p) = f(p+\frac{\omega}{2}) \end{array} \right. \end{align*}が周期 の周期関数であるとは, 任意のについて が成り立つことである. 中間値の定理を使います. 中間値の定理関数 が閉区間 で連続で, と の間にある数 について,\begin{align*} f(c) = k\qu…
「微分・積分」の勉強 高校の数Ⅱで、微分・積分を学ぶようになり、その勉強がつまらなくなり数学を学ぶのをあきらめて文系に進むことにする学生が多いらしい。そうなる以前に早めに数学がつまらなくなることを見切って早々と文系に進むことに決める学生も多いらしい。 そのため、このページでは、「微分・積分」をどうすればおもしろく勉強できるかというコツを考えます。（当ブログの結論） 高校２年生が微分積分を学習するのに適切な本は、高校生用の教科書や参考書なのでは無く、大学１年生向けの参考書：例えば：「やさしく学べる微分積分」（石村園子）書評「素晴らしいほどわかりやすい。 高校2年の知識があれば、すらすら読める。 …
2024.02.29記 [2] を満たす実数 の個数を求めよ．本問のテーマ デカルトの符号法則 [大人の解答] の符号変化は1回なので，デカルトの符号法則から の正の実数解の個数は 個． の符号変化は3回なので，デカルトの符号法則から の負の実数解の個数は 個か 個のいずれかであるが ， ， ， より 個． （注．2個見つければ自動的に3個になるので の符号判定は不要）以上から 個となる． について なら ， は に比べて十分小さくなることが期待できるので， が正となる を探せば良いので， より大きくて 1 に近すぎない を選んだという訳である． （2024.03.24追記 とおくと より を…
数学の試験はめちゃくちゃ点数が安定しないとよく言われ、上振れをお祈りするのではなく、下振れを回避すること (or 下振れても合格できる点を確保すること) が重要だとよく言われます。そのため数学を武器にすることは避けるべきだといわれますが、一定以上の実力があれば数学でアドバンテージを安定して取ること自体は可能です。ただし、アドバンテージの度合いや点数そのものが安定するとは言ってません。どういうことかというと、例えば難化したらそりゃ僕だって点数は下がります。ただしその場合ふつうはほかのみんなも下がるので、差をつけることには成功しているわけです。ここがほかの教科と異なる数学特有の現象で、いまいち認識…
https://www.acmicpc.net/contest/view/1232 韓国でオンサイトも行われたコンテストなんですが、自分のリサーチ不足か分かりませんが解説が一向に上がらないので、自分で軽くわかる範囲ですが書きました。
僕は2014年度東大受験なのだが、実は2014年度は問題がそんなに面白くないので受験数学マニアが東大数学について語る際に全くと言っていいほど話題に挙がらない。当時解いてて本当につまらないばかりか、僕は典型題みたいなのに結構弱いところがあるのでむしろワンチャン落ちるんじゃないかと焦っていたのを今でもうっすらとながら覚えている。ただ、今思い返してみるとあの問題群は選抜試験として秀逸だったのではないか？と感じることがある。というのも、東大数学の問題を★1～★10までランク付けしたときに2014年度は★1～★8までの問題が満遍なく並んでいるからだ。満遍なくレベル別の問題があるため、ボリューム層の数学力…
完全に個人の趣味でやってたんですが、無事完走できそうです。これ終わったら次は何しようかなあ。第1問 難易度：Ｃ (1)2式を足す＆引くすれば等比数列が出てくると問題文に書いてあるため、最後にその2式を足して2で割ってやればおしまい。(2) 数列anというのはこのように指数関数を2つ足したものになります。指数関数の収束条件は公比をrとして|r|<1 0に収束r＝1 1に収束r≦-1 振動r>1 発散なのが基本。というわけでとりあえず|公比|≦1を真っ先に考えますが、なんと2つの公比が同時に絶対値1以下になることがありません。少なくとも一方は振動するか無限の彼方に吹っ飛んでいくことになります。とい…
ようやく折り返し地点か？第1問 難易度：Ｃ 勘がいい人だと(1)の不等式を見た瞬間、ああa_711あたりでπ/2＋nπを跨ぐんだなということが分かるかなと思いますｗ(1)不等式の証明は辺々引いて＞0を示す！ ……としたいところですが、見るからに近似精度がかなり高そうで、πの値も8桁くらい与えられています。たとえば11－4979π/1422＞0っていう条件が出てきたりするのですが、これにπ＝3.14159265…を代入するぞ！ とすると何桁まで代入すればいいのか分かったものではないため、できることならπはπのままで処理したいところです。というわけでさらに同値変形を繰り返し、πと分数の比較の形にし…
とおく。は三次以下の偶関数なのでとおくと、 であるから示された。 存在を示せばいいので求める必要はないが、計算して等号でつないでしまうのが手っ取り早い。試験場だと、線形性からの場合だけ考えれば十分として（）を解くのが素直か。 問題の元ネタはGauss–Legendre公式。 参考： manabitimes.jp [元ネタに忠実な別解] とおく。 は二次式なのでとおける。ただし、は一次の多項式、は定数である。 ここで、が成り立つのでとなる。 さて、はで極小となり、その間で極大となるので中間値の定理よりは実根を二つ持つ。それらをそれぞれとおくと、はに関して対称なのでとなる。また、、同様に、これらよ…
はじめに みなさんこんにちは。Wathematica Advent Calendar 12/9担当、応用物理学科3年のY・Yです。私は高校生の時、軌跡や領域の問題がちょっと苦手でした。（よく条件を見落としていたり、除外点を除き忘れていたりしたためです。）さらに、1年生の時「数学概論B」という授業で位相空間が何を言いたいのかなにも理解できずに絶望しました。しかし、軌跡や領域の問題は集合のトポロジカルな性質を考えるうえで絶好の例であること、そして位相空間を理解していれば位相的に絶対にありえない軌跡や領域を描いてしまうことはないということを今更になって気づきました。位相空間に苦しんでいる1，2年生、…
このツイートからインスピレーションを受けて問題思いつたので良かったら解いてみてください😆 https://t.co/rvNH0fOak6 pic.twitter.com/PEqhpnvhGS— 小作 男須 (@ASowDesuKa03) 2023年11月27日 ， はおそらく解をもたない．だが，， ならある． とすると から となり，（真数条件）に矛盾．よって である．このとき， から となる． が成立する． を固定すると より となるが，左辺は で ， で だから中間値の定理により，与えられた に対して が存在するからである．存在しない証明は難しそうである．例えば （は自然数）という条件をつ…
関孝和すげえという話をします。 【算聖】関 孝和【新助、自由亭】 先月、上野健爾、小川束、小林龍彦、佐藤賢一 による『関孝和全集』が岩波書店から出版されました：岩波書店のページ。 最近はこの本を勉強しているのですが、すこぶる面白いです。 私は元々「関・ベルヌーイ数」という数学的対象がものすごく好きです。これは「ベルヌーイ数」と呼ばれることの方が多いですが、ヤコブ・ベルヌーイとは独立に関孝和も発見しているという話だけをとっても、私が関孝和のことを好きになることに不思議はありません*1。なお、関・ベルヌーイ数が書かれているのは、遺著『括要算法』*2です*3。 実際は関・ベルヌーイ数の発見だけではな…
「パットに型なし」と言われるように，パッティングって結果がバイナリーなので「入ったらなんでもいいじゃん」と思われがちだけど，当然ながら「入る確率を高める原理原則のようなもの」は存在するわけですよね。一方で「その人に何がマッチするか」は本当に人それぞれなので，パッティングに関して何かを断言する人――「これが絶対的に正しい！」って言う人――って，ちょっと疑ってかかった方がいいとは思ってる。 ということで，以下に述べるのはまさに〈私論〉で，僕個人の今現在の感覚でしかないんだけれど……と前置きした上で，以下で述べることの前半は TPI Golf Level 2 で学んだこと，およびペルツのバイブルに依…
定理1.19 中間値の定理 31項 < とする．このとき s.t. < < ① s.t. ① が成立する( > も同様)． (証明) 補足 正の実関数について s.t. s.t. とする．このとき s.t. が唯一つ成立する． と置き ， に対して とし < より < < を示す．たとえば ， (条件 < ) について と置けばよい．▢
無数の基本的要素が「縁起」によって因果関係を結び、事象（event）が構成されています。これが仏教の基本理念の「縁起」の教えです。ただし、その事象は一瞬間だけしか存在しません。瞬間的に生起し、消滅します。そして、次の瞬間に同じ構成要素によって新たな因果関係が結ばれて、また生起し、消滅します。そして、それが連続して起こるのです。つまり、持続して存在している事象は、このような瞬間、瞬間の存在が連続して積み重なったもので、瞬間の存在は「刹那滅」（せつなめつ）と呼ばれてきました。 ＊「各瞬間には前後の順序があり、それが連続して並ぶ」という表現は上記の内容の別表現に見えるが、「連続して並ぶ」という簡単な…
無数の基本的要素が「縁起」によって因果関係を結び、事象が構成されています。これが仏教の基本理念の「縁起」の教えです。ただし、その事象は一瞬間だけ存在します。瞬間的に生起し、消滅します。そして、次の瞬間に同じ構成要素によって新たな因果関係が結ばれて、また生起し、消滅します。そして、それが連続しているように見えるのです。つまり、持続して存在している事象は、このような瞬間、瞬間の存在が連続して積み重なったもので、「刹那滅」（せつなめつ）と呼ばれます。 ＊「各瞬間には前後の順序があり、それが連続して並ぶ」という表現は謎だらけ。 これを道元は「前後際断」と呼び、「刹那滅」と同じように、前際（過去）と後際…
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