加群

8/8(月) 晴れ 8時過ぎに起きた。昨日何故か尾てい骨がちょっと痛くなってたので早めに寝たら早く起きた。とは言っても授業はもう終わっているから夕方のバイトの時間まで数学をした。一つ、昨日わかってなかったところが割りと起きてすぐに分かった。よく考えたらそれはそうな主張で、Noether加群になるからその部分加群が有限生成であるというだけだった。しかもよくよくstacks projectを見たら全部書いてあった。しかもなんか色々移動して調べてたやつもNagata ringの章を読んだらちゃんと書いてあった。 それで大丈夫だと思ってたら一箇所n-root closed性が必要だということに気づいた…

window.MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']], //行内の数式 displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ], //独立行の数式 processEscapes: true //数式の外でもドルマークが使えるように } }; mermaid.initialize({startOnLoad: true}); 前提知識 概要 文献 Gouvéa『p-adic Numbers』 雪江『整数論1』 Serre『A Course in Arithmetic』 前提知識 grap…

7/28(木) 晴れのち雨 10時過ぎに起きた。昨日の睡眠不足の分を解消できた。午後の授業まであんまり時間がなくて色々提案されたやつとかを読み直してた。難しい。明日に備えて他にも何個か読み返しておきたい。 授業の前に先週寝てて見れなかった分をみた。そのまま今日の授業を受けた。今日のメインは体上のgalois cohomologyとetale cohomologyが一致することを示した。これは前になんとなく知識として知っていただけのことだったけど初めて証明を見た。なんでetaleなのかと思ってたけどgalois拡大と対応していると考えればその良さはわかるというものだった。しかもその上の層の圏が加…

Hungerford4章読む（12/20）で出た、加群準同型のテンソル積について考えます。そこでは加群に対して、と、の違いが問題となってました。 まず、とすると、からの平衡写像が存在するので、の普遍性からが一意に得られます。この対応が平衡写像になることを確認することで、の普遍性から、アーベル群準同型が得られます。 が自由加群の場合について考察を進めます。自由加群からの写像は基底を与えることで定まるので、の代わりにの基底を用いてを考えます。の代わりは、まずを考えて、自由加群の直和は自由なことから、先と同様にの基底も用いてです（基底からの行先を決めれば平衡写像は定まる）。したがってを考えればいいの…

ここまで長らく有限体上の線形空間について考えてきた。本稿ではそのフィナーレとして、有限体上の線形空間の双対空間について考えてみる。 線形空間の双対空間 双対空間の定義をWikipedia[1]より引用する。 双対空間 体上の任意のベクトル空間の（代数的）双対空間は上の線型写像（すなわち線型汎函数）全体の成す集合として定義される。集合としてのには、次の加法とスカラー乗法 を定義することができて、それ自身上のベクトル空間となる。 この定義では体としか言っていないので、有限体でも問題なく意味を持つ。 双対基底 次に、双対基底の定義を同じくWikipedia[1]より引用する。 双対基底 が有限次元な…

前提知識 概要 文献 書籍 雪江『代数学2』 Cox 『Galois Theory』 Weintraub『Galois Theory』 講義ノート Leinster『Galois Theory』 window.MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']], //行内の数式 displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ], //独立行の数式 processEscapes: true //数式の外でもドルマークが使えるように } }; \[ %%% 黒板太字 %%% \newcomma…

現在２０２２年７月５日１９時４３分である。（この投稿は、ほぼ２９３４文字）麻友「一体、何の話？」私「数学の試験の答案でとか、数学の本での説明を、読んだり書いたりするとき、私の中で、今、どのレヴェルで、書いているな、読んでいるな、と、いつも、意識している」若菜「それで？」私「そのレヴェルの主なものを挙げると、まず、難しさ６．これは、数学の論文レヴェル。有名な例で、２０世紀の代表的な数学者のひとり、ダフィット・ヒルベルトは、論文を書いたんだけど、何年も経って、他の人が分からないところがあって、質問したのだけど、他の分野に移ってしまっていたので、自分が書いた論文なんだけど、なぜそう書いたか、想い出せ…

7/3(日) 曇り 8時に起きた。昨日なんかすぐに眠くなって早めに寝たから朝が早かった。別に大学に行く予定も無かったので昨日書いたPDFを振り返って一日置いた後読み直した。ちょっと読み間違いしているところとかあった。あとはそこらへん踏まえて行間を埋めつつ書き直していた。結局やっぱりいくつかわからないままのところはあるけどなんとなく流れと使っている命題はわかってきた。結局使いたかった元を取る場所は存在性しか言えてないから今使いたい場合にすぐに応用できるわけではなかった。 お気持ちとしては微分加群の階数をうまく制御して係数体を取り替えるという感じ。普通のCohenの構造定理だと任意の係数体とs.o…

失った感情取り戻して。置いてきた。ほんとうの理由を。逃げたいばかりが。いわれた。いわれた。恋の理由も。人生は長い。道のりを。あなたのこころに問いかける。自由になりたい。ほんとうの理由を。忘れてはいけない。出会える夢をみてる。誰これ探すんじゃなくて。見ないほどに。もっと出会える。とてもいまのメンタルでは通えない。環境とは急激性と柔軟性のこと。命を守るのと生活を守るのではワケが違う。生活を守るなんてゆうレベルじゃ相乗的に急激性を増す惑星(系)環境に対応できない。数学とはつまり人のこころのこと。抽象性とは最高に入り乱れた状況を指す。抽象性があるから対応できるわけで。他人とはいつも具合的か抽象的である…

(代数的)トポロジーでよく出てくる話と言えば「コーヒーカップとドーナツは"同じ"」ですね。 厳密に言えば、連続的に変形すれば互いに一致する"ホモトピー同値"という概念について言い表したものですが、この話が独り歩きして「トポロジーは図形を"柔らかく"捉える」というイメージが根付いているように思われます。 そこで今回は柔らかいだけではない代数的トポロジーの紹介として、有理ホモトピー論(rational homotopy theory)の一部を見ていただこうと思います。 なお、本記事は以下の記事の続編(発展編)にあたります。 まずはこちらをご覧いただければ幸いです。 math-topology.ha…

演習4.4.12cがすごく難しかったので記録。 取り合えず主張を書きます。 演習4.4.12c を体。無限集合上の自由加群に対し、を写像の集合としたとき、 この演習自体は、の次元が無限次元においてその双対と等しくない（）ことを示すもので、どうやらErdős–Kaplanskiの定理というようです。フランス語Wikipediaに記事があるのでGoogle翻訳に感謝しながら読むと、を導く方針のようです。？の部分がわからなかったので他を当たります。 教科書N. Jacobson(1953)を読むと3ページに渡った証明があります。無限基数の性質（HungerfordのT0.8.11）をよく使っています…

どうも. またアドカレの記事を書くことになりました. アドカレって6月頃にもあるんですね. クリスマスだけかと思ってました. まえがき ホモトピー ホモトピー同値 弧 弧の演算 弧のホモトピー ホモトピーと積 ホモトピーとインバース 単位元 基本群 基本群と弧状連結 基本群のホモトピー不変性 具体例 あとがき おまけ 蒼の彼方のフォーリズム FCのルール FCの作り込みの深さ スポ根としての面白さ 曲がいい キャラが可愛い 宣伝 おわりに References まえがき 今回は代数トポロジーについて雑に書きます. 前回書いた多様体は主に微分幾何に属するもので, トポロジーと並んで幾何学の2大分…