多項式が通常の和と積によってなす環．つまり可換環であり，その代表例でもある．
リスト::数学関連
3次方程式の冪根による解法で使えるかもしれないので3次の場合を書いておきます。内容は前の項と同じです。 対称式の基本定理(3次の場合) を体とします。 を 上の多項式環の商体(有理関数体) とおきます。 の対称群 の元 を 上の代数の同型 に拡張した写像全体の集合を とします。 上の多項式 の係数 を に関する 次の基本対称式と呼びます。同様に の係数 を に関する 次の基本対称式と呼びます。以下のようにおきます。 帰納法により 、、 を示します。 これは成り立っています。 この証明は以下の の証明と同様です。 [証明] の任意の元 は と表すことができます。 となる が存在します。 とすると…
ここでは計算を簡単にするために対称式の基本定理をもう一度見てみます。 対称式の基本定理 を体とします。 を 上の多項式環の商体(有理関数体) とおきます。 の対称群 の元 を 上の代数の同型 に拡張した写像全体の集合を とします。 上の多項式 の係数 を に関する 次の基本対称式と呼びます。、 とおくと となります。、 とおきます。 より 、よって が成り立ちます。 とおきます。 が成り立ちます。 に対して となる が存在します。 とすると より となります。よって となります。帰納法で を証明します。 [証明] 、 より となります。[証明終わり] [証明] 、 より となります。[証明終わ…
皆様、ご無沙汰しております。 ラスクです。ここ2か月ほど、ブログの更新をおろそかにしてしまい申し訳ありません。さて今回はシリーズ「今度こそアフィンスキームを理解する」の第二回をやっていきます！ 内容としてはZariski位相という位相を導入し前回定義したを位相空間にしていきます。この概念も、最初の頃は小難しく感じられますが、慣れてしまえばどうってことありません！ 出来るだけイメージを大事に解説していきますので、どうぞ目を通してみてください！！ただ、前回の記事の内容が入っているものとして話を進めますので、まだの方は是非こちらからご覧ください！！ (ただし最初に少しだけは復習をいれます） math…
8/8(土) 晴れ 二日目になった。 午前中のことを書く。 起きてスマホ見てツイッター見て数学をやった。 昨日示せなかったことが示せたので思い出しながら書いてみる。 主張 locally k-finite type schemeの X について点 xが k上d次元smoothなときその点はregular。しかもxの局所環の次元はd以下。とくに閉点のときは一致する。 証明の概略 smooth locusが開集合だからxを含む開近傍が取れる。それとxの閉包の共通部分は局所閉集合だから閉点全体がvery denseよりある閉点をふくむ。とくにこれはsmooth。次元とかこれで抑えられるしこれについて…
代数学の初歩の本と、更に代数方面を専攻しようとする人向けに(俺が知っている範囲の)幾つかの分野とその基本文献的なのを紹介しようと思います。一応、多くの人に読んでもらえる様に書きますが、基本的に今年(2020年)の代数Iを専攻してくれた人向けに書きます(例えば「演習問題〇〇に在った様に～」みたいな言い回しを(読み飛ばしても差し支えない範囲で)時々する)。また、俺は博士課程で数学をしている人間の中では、数学力も数学の知識も多分底辺レヴェルなので(九大数学科の中ではトップクラスだったけどね)、特に研究者を目指している様な人は、俺なんかの意見は余り参考にせずに、ちゃんと先生方と話をする事をお勧めします…
研究でSymPyを使っているのですが，だいぶ癖が強いと感じたので，個人的躓きポイントをまとめます． github github.com Official documentation www.sympy.org Poly class 多項式を扱う基本的なクラスはPolyです．これは sympy/poly/polytools.py 内で定義されています．多項式の定義は >>> from sympy import * >>> x, y = symbols('x, y') # define variables >>> f = Poly(x + 2 * y) Poly(x + 2*y, x, y, do…
整数環 において、素数はその性質から非常に重要な役割を担っています。例えば次のような性質。 \begin{align} p|mn \Rightarrow p|m または p|n \end{align}（ が の約数のとき、 は の約数または の約数） \begin{align} \Leftrightarrow p\nmid m かつ p\nmid n \Rightarrow p\nmid mn \end{align}（ も も で割り切れないなら、 も で割り切れない）イデアルとしては「素数の倍数からなるイデアル」というものが重要になってくる。つまり整数環だと イデアルを使って表現すると、 \…
諄いと云われそうな FAQ ですが.... K x y+x^2-4 x-2 y^2+2 y+11/3 が x,y の一次式の積となるよう 色々な方法で K を 定めて下さい; (高校数学では定番の手法を含めた色々) 発想(イ) 発想(ロ) 発想(ハ) 発想(ニ) どの発想が 初体験でしたか? 初体験の感想を 記録し 次世代の高校生の為に遺してください; そして x,y の一次式 の 積表示 を 願います; 為された 積表示 は 多項式環 ___ ___ ___で可約と表現される(<---空欄を埋めて!)
どうもAaronです。 皆さん、「暗黙の型変換」ってお嫌いじゃないですか？ まあ僕も基本嫌いなんですが… 今回は実は暗黙の型変換も うまく使えば結構有用なんだよ、って話です。 なおいつも通り僕はあんまり主流なプログラミング言語を知らないので雰囲気が伝わるように疑似コードメインで書きます。悪しからず。 1.そもそも暗黙の型変換とは？なぜ嫌われるのか? 暗黙の型変換について知らない人も多いと思いますのでいくつか例を見ていきましょう。 例えば int a = 2; float b = 3.0; printf(a<b); と書くと少なくない言語では、aとbは型が違う変数であるにもかかわらず、そしてSc…
