多項式環

今夜はシャンパンを飲んでいる。DRAPPIERというやつで、そんなに高価ではないが、なかなか美味しい。いい具合に酔っ払っている。 今回は、数学における「完全系列」のことを書いてみたいと思う。 完全系列というのは、というふうに、集合が準同型写像(,,,)で繋がれているもので下で述べる条件を満たすものを言う。ここで「準同型」とは、代数的構造が保存される写像のことである。例えば、が群なら、積が保存される写像(すなわち、)で、が環なら、和と差と積が保存されるような写像のことだ。これらの準同型が、すべて、「(の像)＝(の0の逆像)」を満たすものが「完全系列」なのである。正式に書くと例えば、などとなる。 …

全くやりたくないけど1日坊主はさすがにあれなので…と思ってたら2日ほど寝て過ごしてました。しかも序盤なのに盛大に詰まって…もうだめですね T1.3は体上で生成された環が多項式環となることを言っています…が、証明のほとんどが演習になってますね…。(vi)を見るとまあ生成群の証明（T1.2.8）と同じですね。すなわち、多項式の集合が環になることから、生成環の最小性よりが言えて、とを含む任意の環はを含むのでとしています。 後半はいまいちピンと来てなかったけど、は展開するとで、有限個のの積にで重みを付けた有限和だからやっぱりやってることは群のときと一緒なんですよね…。(vii)は、もし生成集合が無限集…

本日2022/4/17は2022年アドベントカレンダーの-228日目になります（2022/11/30を-1日目とする）。4/20からにするとちょうど225=25*9なのでアドカレ9回分とキリがいいのですが、そうやって延期すると一生やらないことを私はよく知ってるので、正直眠たいですが思い立った今からやります。 5章はガロア理論です。数年前に数学科出身の人に「数学をやるならガロアが（楽しいから）おすすめだよ」的なことを言われたので気にはなってたんですよね…気合と根性がなくて先延ばしにしていました。 とりあえず序文を眺めていますが、「体Fを特定の体Kの拡大として考える」「代数拡大・超越拡大があって、…

与作が木を切っても切らなくても今回は整閉包のお話です．ネター整域が整閉整域であるかを判定する Grauert-Remmert の定理というものがあり，これは整閉包を計算する上でも主要な働きをする面白い定理なのですが，証明が載っている教科書をあまり見かけません．今回はこの定理とその証明を紹介します． Zariski 位相 後ほど使うので，Zariski 位相について復習しておく． をネター環， を の素イデアル全体とする．イデアル に対し，\begin{align} V(\mathfrak{a}):=\{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec} R\mid \mathfrak…

おはようございます． 今日は『Ideals, Varieties, and Algorithms』を読んでいきます． Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra (Undergraduate Texts in Mathematics)作者:Cox, David A,Little, John,O'Shea, DonalSpringerAmazon 手元に日本語版を用意したのですが，最近英語で数学書が読めるようになりたいと…

今日は 関数というものの定義を紹介し，さらに の 関数を手計算で求めてみます． は擬斉次孤立特異点多項式と呼ばれるクラスに属する多項式で， 関数は簡単に計算できることが知られています．詳しく知りたい人は次の本の第6章などを参照してください．www.iwanami.co.jp 関数 微分作用素環 を 変数多項式環， を多項式係数微分作用素の環とします．ただし， は に関する偏微分作用素です． の要素としての多項式 は 倍写像のことです． 内での と の積である は 「 倍してから で偏微分する」という作用素で，関数 に作用させると，関数の積の微分法則により\begin{align} (\part…

window.MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']], //行内の数式 displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ], //独立行の数式 processEscapes: true //数式の外でもドルマークが使えるように } }; \[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb…

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これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」25日目の記事ではありません。2022年ですね。さあ延長戦の始まりだ 4.7節のタイトルは「ALGEBRAS」…本のタイトル「Algebra」を回収した感じで熱いですね。日本語では「代数」よりも「（結合的）多元環」と言うようです。 多元環の定義7.1を読みます。単位的可換環に対して代数とは、環について、が単位的（左*1）加群であって、左作用と環の積が両立するものです。特にが可除環のとき、代数を可除代数と言います。 定義を見てもよくわからないので例を見ていきます。 まず簡単な例として環は加群であり整数倍につ…

12/30(木) 晴れ 10時前には起きてた気がする。今日は午前から午後にかけて机と棚の整理をした。棚に関しては整理と言ってもいらない紙を少し捨てて、ごちゃごちゃしていたところを揃え直しただけだけど。机の上は結構さっぱりした。去年の授業のノートとかファイルに入れたまま積み上がっていたんだけどそれにラベルを付けて棚に積んだ。捨てる気はサラサラ無いので逆に楽だった。結局院試のときによく見返していただけだったけどやっぱりちゃんと取っておきたいのでまとめた。あとスキーム論の本を読んでいるときに書いたノートが約10cmほどたまっていたのでそれは買った多重ファイルみたいなのに挟んで置き直した。13章まで読…

12/24(金) 晴れ 12時前に起きた。ここ一週間で初めて一日なにもない日だったので読みたいところを頑張って読み進めた。最初は例をやって、finite coveringのときにfpqc coveringになるかどうかを判定したくて、そうならないものをやった。normalだとだめで、でもやっぱりregularならうまくいくというのを見た。これでbig CMの存在性を幾何学的に解釈できた。大事なところはbig CMであることとfaithfully flatであることの同値性とからしい。 その後はKunzの定理の幾何学的解釈としてFrobeniusがfpqcになることとかをやった。あと少しだけだけ…