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対角線論法

対角線論法

(サイエンス)
【たいかくせんろんぽう】

カントールの対角線論法

カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう）は、数学における証明テクニックの一つで、1891年にゲオルグ・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文[1]の中で用いられたのが最初だとされている。 対角線論法はその後、数学基礎論や計算機科学の定理を証明するのに使われる代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。

カントールの対角線論法 - Wikipedia

新着ブログ: 対角線論法

id:mirukatea
3 か月前

集合の濃度、そしてそこから

集合論の1つのテーマとして、元の数が無限にある集合同士の大きさの比較がある。これは、前の記事でもやったが、濃度という概念であり、写像の全射、単射を用いている。 全射というのは、もれがないということである。写像先の集合の元すべてに対応関係がある。単射というのは、ダブらないということである。元を変えれば、必ず違う結果となる。 全射でもあり単射でもあるとき全単射であるといい、元の集合の元すべてと写像先のすべての元が1対1対応している。この場合、元の集合の元の個数と写像先の集合の元の個数が等しくないといけないことはわかるだろう。元の集合の元の個数が一つでも多くなってしまうと必ず行先がかぶってしまい単射…

とある数学科大学生の備忘録
id:mirukatea
4 か月前

集合の濃度～集合の元がどれだけ詰まっているか～

〇はじめに～なぜ濃度という概念があるか？～ （途中） 〇集合の濃度の定義 集合AからBへの全単射な写像が存在するとき、AとBは濃度が等しいといいます。 表記は、 A~Bと書きます。 これはなんのためにあるのかというと 集合の中には、元の個数が無限にあるものがあります。（無限集合といいます。） そうすると、個数を数えては比べられないので、 全単射を用いた濃度という概念で考えるわけです。 例えば、自然数全体の集合、実数全体の集合はどちらも無限集合ですが、 直観的には実数全体のほうが元の個数は多そうです。 その時に濃度を使います。 実際に、実数全体の集合と自然数全体の集合の濃度は違います。 これは濃…

とある数学科大学生の備忘録
id:fujidig
4 か月前

順極限ℝ^∞とdominating number

位相空間の順系の順極限を考えよう． つまり，に対し， により，は順系をなすので，この順極限をとする． この空間は幾何学においてグラスマン多様体やそのバンドルを考えるときなどに登場し重要な役割を果たす． 実はこの空間の指標がdominating numberと呼ばれる基数になっている． 指標とは位相空間の各点の近傍基の最小のサイズの上限である．たとえば位相空間が第一可算ならば指標はである． dominating number は基数不変量と呼ばれるものの一つで，以上以下なことは分かっているが，具体的な値はZFCでは定まらない． そのような基数が，幾何学で自然に登場する空間の自然な不変量の値として…

理科
id:Inuosann
4 か月前

実数全体の集合は可算でない

実数全体の集合は可算ではありません。つまり、自然数全体の集合と1対1に対応がつけられないのです。それほど要素が多い、ということです。同じ「無限」なのに不思議な話ですが、仕方がありません。無限にも程度があるのです。今回はこれを証明します。 実数全体に1番から順に番号がついたと仮定しましょう。すると0以上1以下の実数にも番号がついており、これらに改めて番号の小さい順に1番、2番、………と番号をつけ直します。これを番号順に次のように並べます。 そして、波線の桁に注目して、次の実数＃を作ります。 この実数、(＃)は上の表のどこかに載っているはずです。0以上1以下の実数だからです。こうして作った実数(＃…

いぬおさんのおもしろ数学実験室
id:m-hiyama
4 か月前

カントールは間違っていた from viXra.org

おうちでヴィクスラ〈viXra.org〉を読もう こんな状況*1だと、なんか気分転換がしたくなります。「viXraを眺める」に書いたように、viXra（https://vixra.org/）論文には、癒しになるものがあります。論文を選ぶときの僕の規準は： 短いもの。長いと読む気になれないので。 解釈可能なもの。何を言ってるか不明だと、解読の労力が辛いので。 念のために断っておくと（「viXraを眺める」からそのまま引用）： viXra論文がみんなトンデモってわけではないです。まだ完成度が低いドラフト（だが、マトモなもの）を一時的に公開している人もいます。なかには、思い付きや勉強した内容をメモし…

檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
id:tamamusi
4 か月前

４月４日（土）清明、世界に気が満ち清く明らかになる頃。

白っぽい快晴、というか春霞？9℃～22℃、33%。南風やや強し。花粉少ない。 無限とは： 限りが無いことである。限りが有るのは有限といふ。無限というのはイロエロと不思議な性質がありまして、例えば部分が全体に等しいとか。こりは「等しい」の定義にもよりますが、各要素に1対１の対応がつけば等しいとすると、自然数全体とその一部である偶数全体が等しくなります。偶数を２で割って自然数と対応付けられます。 無限には実無限と可能無限つうのがあります。こりは無限に対する考え方の違いです。例えば円周率Πはあるんだよと考えるのは実無限で、３．１４１５９２・・・と限りなく近づくが到達しえないつうのが可能無限です。０．…

tamamusi’s diary
しん
5 か月前

集合の濃度　〜有理数と自然数はどっちが多い？〜

離散数学入門 整数の誕生から「無限」まで (ブルーバックス) 作者:芳沢 光雄 発売日: 2019/12/18 メディア: 新書 自然数と有理数どちらが多いか？ 数直線を書くと... （写真出典：自然数と有理数ってどっちが多い？ 〜無限ってなんだろう〜 | 受験生応援し隊～presented by forEst～） 上の写真では自然数は目盛りの上にしかありませんが、有理数はその間にもあるので... これは！明らかに！有理数の方が！多い！ と思うでしょうが... 実は自然数と有理数の数は一緒 です。直感と反しますね。 ※余談ですが直感と反するといえば、以下の動画面白かった。 まあそれは置いておい…

徒然weed
john digwood
5 か月前

限定合理性：人格の線形2次元配列　ver1.00.03

カントは純粋理性批判原理論でこう言っています。 家は多面であることは、原理的にわかるよね。 これが人格になると人格も多面的であると原理的でしょうか。 ここに田中さんの人格のクラス配列をつくりました 田中｛4x,19y,12p 19y,2n,3n } これが普段認識している田中さんという人格の変数です。 限定合理性が働くのは、これらが時間によっても変化します 夜の田中{2x,2x,null 0, 0 ,2 } これがペルソナかな これは時間だけではなく、会話のゲームでも同じ配列に変化を加えます 対山崎の視座から見た田中配列 ｛2,2,3, 7,7,983x} 山崎から観測できた田中の配列は、不確…

たまには許してやれよアベ政治。正月くらいはさ。
そうた
6 か月前

もうすぐバレンタイン！数学とともに届ける愛の言葉10選

2月14日は待ちに待ったバレンタインの日ですね！皆さん、誰かにチョコをあげる/もらう予定はありますか？僕は自分のために買いますけどね！そんなわけで、今日は、数学とともに届ける愛の言葉を紹介したいと思います。神秘的な数学の世界で愛を伝えるなんて、ロマンチックだと思いませんか？あなたの大切な人に、数学で思いを伝えてみてください。僕は伝える相手がいませんけどね！この記事では、男性が女性に伝えるための言葉を紹介しますが、言葉遣いを変えれば誰でも使えるようになると思います！数学に詳しくない人でも楽しめるように分かりやすく説明したつもりですので、ぜひ最後まで読んでみてください。 1. 「君は僕の補集合なの…

特異点の向こう