微分作用素

今年は編入試験一年前の年度ということもあり焦って勉強を始めたのだが，自分で決めた勉強量を終わらせ車校を終わらせ板前のバイトが休みで暇なので最近考えることをネット媒体にでもしてみよう(もうそろそろ勉強のために考えに耽ることを抑えなくては)．ここ数週間をまとめると，幾何代数の基底を と定義しなおすことによって幾何代数を曲線座標でも扱えるよう拡張し，基底の偏微分で とクリストッフェル記号を導入することによりその拡張した幾何代数を偏微分することを可能にして共変微分を幾何代数的に議論できるようにし，またさらに偏微分作用素を双対基底と総和をとることによりディラック作用素を曲線座標系に拡張し，重力場中のマク…

「マリオス微分幾何とカルタン接続」の続きです。リー型群層〈group sheaf of Lie-type〉は、リー群が持つ構造の一部を代数的に取り出して層の世界で定式化したものです。モーレー／カルタン微分は、群に値を取る関数の対数微分を、やはり層の世界で公理化したものです。モーレー／カルタン微分を備えたリー型群層、つまりリー／モーレー／カルタン群層は、乗法的量の微分計算の抽象化されたバージョンです。バシリウーの論文（https://arxiv.org/abs/math/9810083）に従って、リー／モーレー／カルタン群層の例を示します。正方行列を使った例で、これは重要な例でもあります。この記…

2019年にマリオス〈Anastasios Mallios〉の抽象微分幾何（以下、マリオス微分幾何）について紹介したことがあります。 マリオスの抽象微分多様体 抽象微分多様体、もうチョット 抽象微分多様体、さらに：共変微分のアフィン構造 その後もたまにマリオス達の論文を眺めることもありました。2,3日前に、バシリウー〈Efstathios Vassiliou〉の次の論文を見返しました（なんとなく）。 Title: Vector Sheaves Associated with Principal Sheaves Author: E. Vassiliou Submitted: 13 Oct 199…

こんにちは、のんろそです。先日大学の卒業式がありましたが、院でも同じ研究室なのであんまり卒業した感が無いです。 大学4年間でとった講義を振り返るやつの3つ目、2年前期（2Sセメスター）の振り返りです。この学期は1～3年の内だと最も履修の自由度が高く、かつ時間割を疎にすることが可能な学期となっています（多分）。 1年後期の振り返りはこれ↓ hpng19.hatenablog.com 物性化学（S1ターム） 生命科学（S1ターム） 基礎実験III（化学）（S1ターム） 古典語初級I（ラテン語） 言語構造論 言語文化論 人間行動基礎論（理科生） 振動・波動論 ベクトル解析 統計データ解析II 全学自…

前回の記事の続きです。まだ読んでいない方はこちらから。 tsujimotter.hatenablog.com前回の記事では、 を通る直線を考えて「この直線に で接する関数全体の同値類」を考えて、その同値類全体がザリスキー余接空間 になっているという話をしました。また、この余接空間の双対空間として、ザリスキー接空間 が定義できるよという話もしました。一方で、ザリスキー接空間については、双対空間を経由せずとも直接的に考えることができるよ、と第二宇宙賢者さんからアドバイスいただきました。ヒントとして次のPDFを教えていただきましたので、PDFの内容を参考にしつつ、ザリスキー接空間について考えてみたい…

tsujimotter.hatenablog.comこの記事でザリスキー接空間を扱ったのだが、そのときは余接空間 の双対空間として定義した。もう少し直接的に接空間をできるらしいと聞いたので、考えてみたいと思う。環準同型から始めたいと思う。 として、点 における局所環 を考えると、これは で正則な有理関数全体のなす局所環である。 の任意の元 はテイラー展開するとと表せる。ただし、 は点 で正則な関数である。したがって、この係数 を用いて を割り当てる写像を考える。すると、この は環準同型写像である。特に加法群についての準同型写像。ここで、上記の写像と を合成した写像を とおくとということになるが…

最近、多様体に関する勉強をしているのですが「接ベクトル空間」という概念を習得するのに苦労しています。ちょっと抽象的すぎてよくわからないなと思っていたところに、黒木玄さんからの次のツイートが。#数楽 伝統的なスタイルでは、まず古典的なℝ³内の曲面論についての講義があって、その一般化として多様体論の講義が続く。曲面のパラメータ表示 (u,v)↦𝐩(u,v) の偏微分作られる接ベクトル達 ∂𝐩(u,v)/∂u, ∂𝐩(u,v)/∂v の𝐩(u,v)を略したものが ∂/∂u, ∂/∂v だと、思うこともできます。— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2021年1月28日 というわ…

Cramer-Raoの定理 準備 標本空間$\Omega = \qty{\omega_0, \dots, \omega_n}$について、その上の確率測度全体のなす多様体$S = S_{n}$を考え、$M$をその部分空間とする。 パラメタ$\xi$によって指定される$M$上の点$p\xi$における$S$の接空間$T{p\xi}S$を考える。$X\in T{p\xi}S$について、$X\log p\xi$ を$e$-表現、$Xp_\xi$を$m$-表現 と呼ぶ。ここで、$X$は線形性とライプニッツ則を満たす作用素、つまり微分作用素であり、パラメタによる微分作用素$\pdv{}{\xi_i}$の線形…

表題の「こんな書き方」とは：「積分には不定積分と定積分があります」は認めるとして、積分区間（上端と下端）が書いてないので、左辺が関数の形をしているので、上記の積分記号は不定積分を表すことになります。不定積分の意味は、おおよそ「微分の逆」ですが、もう少し正確に記述してみます。高校レベルだと、扱う関数は R→R の連続的微分可能関数が多いでしょうから、そのような関数の集合を次のように定義します。 C0(R) := {f:R→R | fは連続} C1(R) := {f:R→R | fは微分可能で、微分した結果は連続} D:C1(R)→C0(R) は微分作用素とします。そして、Dの逆像を次のように定義…

＊差分・和分 において、とした極限を微分係数とよび、と表すことにする。また、としたものを差分（階差）とよび、と表す。を和分とよぶ。微分・積分と差分・和分には類似の関係が成り立っている。 ＊下降階乗 を下降階乗とよぶ。下降階乗はが自然数でないときにも定義できる。下降階乗の差分は、冪乗の微分と類似の式が成り立つ。二項係数を使うと、と表せるが、この式は であり、パスカルの恒等式を意味している。 ＊関 Bernoulli 多項式と関 Bernoulli 数 整数について、が関 Bernoulli 多項式であるとは、およびが成り立つこととする。この２つの条件があれば計算できるのである。と表すことにすると…

こんにちはヽ(^0^)ノ https://arxiv.org/pdf/math/0512657.pdf アフィン型幾何結晶(geometric crystal)のこの論文を読んでいたら、微分作用素表示が出せそうと思ったので計算したら公式を発見･導出できたので紹介します。今回は型です。 論文にある写像は幾何結晶として要請からリー群の作用とみなせてパラメータ微分の計算をタラタラすると得られました。derivative representationと言う名前を見かけたので使っていますが、この対象を微分作用素の環の元として表示するモチベはあまり無いっぽいですね(?) \begin{align}e_0=…